《2025年顶尖课课练九年级数学上册人教版》

4. 为了促进劳动课程的开展，某学校准备利用一处墙角和一段篱笆围建一个矩形生态园。如图 21.3.1 - 3，墙 $ AF = 8 m $，$ AE = 4 m $，篱笆长为 $ 28 m $。设 $ CD $ 的长为 $ x m $，生态园的一边由墙 $ AF $ 和一节篱笆 $ BF $ 构成，另一边由墙 $ AE $ 和一节篱笆 $ CE $ 构成，其他边由篱笆 $ CDB $ 围成。
（1）若生态园的面积为 $ 75 m^2 $，求 $ x $ 的值；
（2）为了进出生态园方便，现决定在 $ CD $ 边上留出一个 $ 2 m $ 宽的门，此时生态园的面积能否达到 $ 110 m^2 $？如果能，求出生态园的长 $ CD $；如果不能，请说明理由。
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答案： （1）$x=15$ （2）当$CD=10\ m$或$11\ m$时，生态园的面积能达到$110\ m^2$

5. 如图 21.3.1 - 4 所示的是一张长 $ 12 cm $、宽 $ 10 cm $ 的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分(阴影部分)可制成底面积为 $ 24 cm^2 $ 的有盖的长方体铁盒，则剪去的正方形边长是2$ cm $。
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答案： 2

6. 如图 21.3.1 - 5，邻边不相等的矩形花圃 $ ABCD $，它的一边 $ AD $ 利用已有的围墙（可利用的围墙长度超过 $ 6 m $），另外三边所围的栅栏的总长度是 $ 6 m $。若花圃的面积为 $ 4 m^2 $，求 $ AB $ 的长。
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答案： 1 m

7. 如图 21.3.1 - 6，一架 $ 2.5 m $ 长的梯子 $ AB $ 斜靠在竖直的墙 $ AC $ 上，这时点 $ B $ 到墙 $ C $ 的距离为 $ 0.7 m $。
(1)如果梯子的顶端沿墙面下滑 $ 0.4 m $，那么点 $ B $ 将向外移动多少米？请将下列解答过程补充完整：
解：设点 $ B $ 将向外移动 $ x m $，
即 $ BB_1 = x m $，
又 $ BC = 0.7 m $，
则 $ B_1C = (x + 0.7) m $，
$ A_1C = AC - AA_1 = \sqrt{2.5^2 - 0.7^2} - 0.4 = 2 (m) $。
而 $ A_1B_1 = 2.5 m $，
在 $ Rt \triangle A_1B_1C $ 中，
由 $ B_1C^2 + A_1C^2 = A_1B_1^2 $，
可列方程：。
解得 $ x_1 = $，$ x_2 = $。
$ \therefore $ 点 $ B $ 将向外移动$ m $。
(2)① 在(1)中，如果将“下滑 $ 0.4 m $”改为“下滑 $ 0.9 m $”，那么该题的答案会是 $ 0.9 m $ 吗？为什么？
② 在梯子下滑的过程中，梯子的顶端从点 $ A $ 处沿墙 $ AC $ 下滑的距离与点 $ B $ 向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？
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答案：
(1) $(x + 0.7)^2 + 2^2 = 2.5^2$；$0.8$；$-2.2$；$0.8$
(2)① 不会，理由：下滑$0.9\ m$时，$A_1C=AC - 0.9=2.4 - 0.9=1.5\ m$，在$Rt\triangle A_1B_1C$中，$B_1C=\sqrt{2.5^2 - 1.5^2}=2\ m$，外移距离$=2 - 0.7=1.3\ m\neq0.9\ m$。
② 有可能，理由：设下滑距离与外移距离都为$m$，则$(0.7 + m)^2+(2.4 - m)^2=2.5^2$，化简得$2m^2 - 3.4m=0$，解得$m=0$（舍）或$m=1.7$，存在$m=1.7$使两者相等。