《2025年顶尖课课练九年级数学上册人教版》

6. 如图 22.3.2 - 6，灌溉车为绿化带浇水，喷水口 $ H $ 离地竖直高度 $ OH $ 为 $ 1.2 \, m $，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形 $ DEFG $，其水平宽度 $ DE = 3 \, m $，竖直高度 $ EF = 1 \, m $. 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点 $ A $ 离喷水口的水平距离为 $ 2 \, m $，高出喷水口 $ 0.4 \, m $，灌溉车到绿化带的距离 $ OD $ 为 $ d $（单位：$ m $）.
(1) 求上边缘抛物线的函数解析式；
(2) 求下边缘抛物线与 $ x $ 轴的正半轴交点 $ B $ 的坐标；
(3) 要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出 $ d $ 的取值范围.

解：(1) 由题意知，$ A(2, 1.6) $，$ H(0, 1.2) $，
设上边缘抛物线函数解析式为 $ y = a(x - 2)^2 + 1.6 $，
将 $ H(0,1.2) $ 代入 $ y = a(x - 2)^2 + 1.6 $，
得 $ 1.2 = 4a + 1.6 $，解得 $ a = -\dfrac{1}{10} $，
$ \therefore y = -\dfrac{1}{10}(x - 2)^2 + 1.6 $.
(2) 由题意知，$ H(0, 1.2) $ 关于直线 $ x = 2 $ 的对称点为 $ (4, 1.2) $，
$ \therefore $ 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移 $ 4 \, m $ 得到的. $ \therefore B(2, 0) $.
(3) $ d $ 的取值范围为 $ \sqrt{6} - 1 \leqslant d \leqslant 2 $.

答案： 6.（1）$y=-\dfrac{1}{10}(x-2)^2+1.6$ （2）$B(2,0)$ （3）$\sqrt{6}-1 \leqslant d \leqslant 2$

7. 在一次跳水比赛过程中，某运动员选择了一个极具难度的 $ 207C $(向后翻腾三周半抱膝). 如图 22.3.2 - 7 所示，建立平面直角坐标系 $ xOy $. 如果她从点 $ A(3, 10) $ 起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度 $ y $(单位：$ m $)与水平距离 $ x $(单位：$ m $)近似地满足函数关系式 $ y = a(x - h)^2 + k $($ a ＜ 0 $).

(1) 在平时训练完成一次跳水动作时，该运动员的水平距离 $ x $ 与竖直高度 $ y $ 的几组数据如下：

根据上述数据，可以得到 $ k $ 的值为11.25，并直接写出满足的函数关系式：$y=-5(x-3.5)^2+11.25$；
(2) 比赛当天的某一次跳水中，该运动员的竖直高度 $ y $ 与水平距离 $ x $ 近似地满足函数关系 $ y = -5x^2 + 40x - 68 $，记她训练时入水点的水平距离为 $ d_1 $，比赛当天入水点的水平距离为 $ d_2 $，则 $ d_1 $＜$ d_2 $(填“$ ＞ $”、“$ ＜ $”或 “$ = $” )；
(3) 在(2)的情况下，从她起跳后到达最高点 $ B $ 开始计时，设点 $ B $ 到水平面的距离为 $ c $，则她到水面的距离 $ y $ 与时间 $ t $ 之间近似地满足 $ y = -5t^2 + c $，如果在达到最高点后需要 $ 1.6 \, s $ 的时间才能完成极具难度的 $ 207C $ 动作，请通过计算说明：她当天的比赛能否成功地完成此动作？

答案： 7.（1）11.25 $y=-5(x-3.5)^2+11.25$ （2）$＜$ （3）不能，说明略