《2025年顶尖课课练九年级数学上册人教版》

6. 对于实数$a$，$b$，定义运算“$◯$”如下：$a ◯ b = (a + b)^{2} - (a - b)^{2}$.若$(m + 2) ◯ (m - 3) = 24$，则$m = \underline{\quad\quad}$.-3 或 4

答案： -3 或 4

7. 用因式分解法解下列方程：
$x^{2} - x + \frac{1}{4} = 0$；
$x^{2} + 5 = 2\sqrt{5}x$.

答案： 7.
（1）$x^{2} - x + \frac{1}{4} = 0$
解：
原方程可化为 $\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 = 0$
则 $x - \frac{1}{2} = 0$
解得 $x_1 = x_2 = \frac{1}{2}$
（2）$x^{2} + 5 = 2\sqrt{5}x$
解：
移项得 $x^{2} - 2\sqrt{5}x + 5 = 0$
原方程可化为 $\left(x - \sqrt{5}\right)^2 = 0$
则 $x - \sqrt{5} = 0$
解得 $x_1 = x_2 = \sqrt{5}$

8. 若一元二次方程$x^{2} - 8x - 3 × 11 = 0$的两根为$a$，$b$，且$a ＞ b$，则$a - 2b$的值为(D).

A.$-25$
B.$-19$
C.$5$
D.$17$

答案： D

9. 用因式分解法解下列方程：
$x(5 + x) = 24$；
$(x - 1)(x + 3) = 12$.

答案： （1）$x_{1}=-8$，$x_{2}=3$ （2）$x_{1}=-5$，$x_{2}=3$

10. 已知$x_{1} = -1$是关于$x$的方程$x^{2} + mx - 5 = 0$的一个根，求$m$的值及方程的另一个根$x_{2}$.

答案： $m=-4$，另一根 $x_{2}=5$

11. 方程$2x^{2} + 5x - 3 = 0$的解是$\underline{\quad\quad}$.$x_{1}=-3$，$x_{2}=\frac{1}{2}$

答案： $x_{1}=-3$，$x_{2}=\frac{1}{2}$

12. 若$a^{2} - 7ab + 12b^{2} = 0$，则$\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$的值为$\underline{\quad\quad}$.$\frac{17}{4}$或$\frac{10}{3}$

答案： $\frac{17}{4}$或$\frac{10}{3}$

13. 某校研学活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是$43$，则这种植物每个支干长出的小分支的个数是(C).

A.$4$
B.$5$
C.$6$
D.$7$

答案： C