《2025年顶尖课课练九年级数学上册人教版》

15. 若抛物线 $ y = ax^2 + c $ 与抛物线 $ y = 3x^2 $ 的形状相同，且其顶点坐标是 $ (0, 1) $，求抛物线 $ y = ax^2 + c $ 的解析式。

答案： $y=\pm 3x^{2}+1$

16. 如图 22.1.3 - 2，在 $ 2 × 2 $ 的正方形网格（每个小正方形的边长为 $ 1 $）中，有 $ A $，$ B $，$ C $，$ D $，$ E $，$ F $，$ G $，$ H $，$ O $ 九个格点，抛物线 $ l $ 的解析式为 $ y = (-1)^n x^2 + c $。
（1）当 $ n $ 为奇数且 $ l $ 经过点 $ B(1, -1) $ 时，通过计算说明哪个格点是该抛物线的顶点；
（2）当 $ n $ 为偶数且 $ l $ 经过点 $ C(1, 0) $ 时，通过计算说明点 $ D(1, 1) $ 是否在抛物线 $ l $ 上；
（3）若 $ l $ 经过九个格点中的三个，直接写出所有满足条件的抛物线的条数。

答案： （1）格点 O （2）不在 （3）4 条

17. 如图 22.1.3 - 3①，点 $ P(m, n) $ 是抛物线 $ y = \frac{x^2}{4} - 1 $ 上任意一点，$ l $ 是经过点 $ (0, -2) $ 且与 $ x $ 轴平行的直线，过点 $ P $ 作直线 $ PH \perp l $，垂足为 $ H $。

(1)填空：当 $ m = 0 $ 时，$ OP = $1，$ PH = $1；当 $ m = 4 $ 时，$ OP = $5，$ PH = $5；
(2)对任意的 $ m $，猜想 $ OP $ 与 $ PH $ 的大小关系，并证明你的猜想；
(3)如图 22.1.3 - 3②，已知线段 $ AB = 6 $，其端点 $ A $，$ B $ 在抛物线 $ y = \frac{x^2}{4} - 1 $ 上滑动，求 $ A $，$ B $ 两点到直线 $ l $ 的距离之和的最小值。

答案： （1）1 1 5 5 （2）$OP=PH$，证明略 （3）6