《2025年顶尖课课练九年级数学上册人教版》

8. 某果园$2023$年水果产量为$100\mathrm{t}$，预计$2025$年水果产量为$144\mathrm{t}$，求该果园水果产量的年平均增长率.设该果园水果产量的年平均增长率为$x$，则根据题意可列方程为(D).

A.$144(1 - x)^{2}=100$
B.$100(1 - x)^{2}=144$
C.$144(1 + x)^{2}=100$
D.$100(1 + x)^{2}=144$

答案： D

9. 根据下列问题，列出关于$x$的方程，并将其化为一元二次方程的一般形式.
（1）用一条长$40\mathrm{cm}$的绳子围成一个面积为$64\mathrm{cm}^{2}$的长方形，求长方形的长$x(\mathrm{cm})$；
（2）一个直角三角形的斜边长$10$，两条直角边长的差为$2$，求较长的直角边长$x$；
（3）某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张作为留念，全班共送了$2550$张相片，求全班的学生人数$x$.

答案： （1）
设长方形的长为$x\mathrm{cm}$，则宽为$\frac{40}{2} - x = (20 - x)\mathrm{cm}$。
根据长方形面积公式，有$x(20 - x) = 64$。
整理得一般形式：$x^{2} - 20x + 64 = 0$。
（2）
设较长的直角边长为$x$，则较短的直角边长为$x - 2$。
根据勾股定理，有$x^{2} + (x - 2)^{2} = 10^{2}$。
整理得一般形式：$x^{2} - 2x - 48 = 0$（或$2x^2-4x-96=0$（未合并同类项形式也可），但通常使用$x^{2} - 2x - 48 = 0$）。
（3）
设全班有$x$名学生。
每名学生送出$x - 1$张相片，所以全班共送出$x(x - 1)$张相片。
根据题意，有$x(x - 1) = 2550$。
整理得一般形式：$x^{2} - x - 2550 = 0$。

10. 若一元二次方程$x^{2}+px - 2=0$的一个根为$2$，则$p$的值为(B).

A.$1$
B.$-1$
C.$2$
D.$-2$

答案： B

11. 已知一元二次方程$x^{2}-x - 2=0$的一个根为$m$，则$2025 - m^{2}+m$的值是(B).

A.$2022$
B.$2023$
C.$2024$
D.$2025$

答案： B

12. 若一元二次方程$ax^{2}+bx + c=0$中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，则该方程必有一个根是(C).

A.$0$
B.$1$
C.$-1$
D.$\pm1$

答案： C

13. 已知关于$x$的一元二次方程的一个根是$1$，请写出一个符合条件的方程：答案不唯一，如 x^2 = 1.

答案： 答案不唯一，如 $x^2 = 1$

14. 请问：当$m$为何值时，关于$x$的一元二次方程$(m - 1)(m + 3)x^{2}+x + m^{2}-9=0$有一个根为$0$？
悟：已知方程的根，则可优先考虑将已知根代入方程.

答案： m = 3