《2025年顶尖课课练九年级数学上册人教版》

5. 如图 23.2.2 - 4 所示的是两个等边三角形拼成的四边形.
（1）这个图形是不是旋转对称图形？是不是中心对称图形？若是，指出其对称中心；
（2）如果 $\triangle ACD$ 旋转后能与 $\triangle ABC$ 重合，那么图形所在平面上可以作为旋转中心的点共有几个？请分别指出.
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答案： （1）是旋转对称图形，也是中心对称图形，对称中心是 AC 的中点 （2）有 3个，分别为点 A，C 及 AC 的中点

6. 如图 23.2.2 - 5，矩形 $ABCD$ 和矩形 $AB'C'D'$ 关于点 $A$ 对称，求证：四边形 $BDB'D'$ 是菱形.
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答案： 证明：
∵矩形ABCD和矩形AB'C'D'关于点A对称，
∴点B与B'、点D与D'关于点A对称，
∴A为BB'中点，A为DD'中点（中心对称图形性质），
∴BA=AB'，DA=AD'，
∴四边形BDB'D'对角线BB'与DD'互相平分，
∴四边形BDB'D'是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°（矩形性质），同理∠B'AD'=90°，
又
∵AB=AB'，AD=AD'（对称点到对称中心距离相等），
在△ABD和△AB'D中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=AB' \\ ∠BAD=∠B'AD' \\ AD=AD' \end{array}\right.$，
∴△ABD≌△AB'D（SAS），
∴BD=B'D。
∵四边形BDB'D'是平行四边形，且BD=B'D，
∴四边形BDB'D'是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）。

7. 如图 23.2.2 - 6，$\angle BAC = 120^{\circ}$，以 $BC$ 为边向 $\triangle ABC$ 外作等边三角形 $BCD$，把 $\triangle ABD$ 绕着点 $D$ 顺时针旋转 $60^{\circ}$ 后得到 $\triangle ECD$，若 $AB = 3$，$AC = 2$，求 $\angle BAD$ 的度数和 $AD$ 的长.
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答案： ∠BAD=60°，AD=5

8. 如图 23.2.2 - 7，将矩形 $A_1B_1C_1D_1$ 沿 $EF$ 折叠，使点 $B_1$ 落在 $A_1D_1$ 边上的 $B$ 点处；沿 $BG$ 折叠，使点 $D_1$ 落在 $D$ 点处且 $BD$ 过点 $F$.

（1）求证：四边形 $BEFG$ 是平行四边形；
（2）连接 $BB_1$，判断 $\triangle B_1BG$ 的形状，并写出判断过程.

答案： （1）略 （2）直角三角形