《2025年拔尖特训八年级数学上册人教版》

12. 已知$ab=-3$，$a+b=2$，求$a^{3}b+ab^{3}$的值.

答案： 12. $ \because ab = -3 $，$ a + b = 2 $，$ \therefore a^3b + ab^3 = ab(a^2 + b^2) = ab[(a + b)^2 - 2ab] = (-3) \times [2^2 - 2 \times (-3)] = (-3) \times (4 + 6) = (-3) \times 10 = -30 $

13. 若$a$，$b$，$c$是$\triangle ABC$的三边长，判断$(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}-4a^{2}b^{2}$的正负.

答案： 13. $ \because (a^2 + b^2 - c^2)^2 - 4a^2b^2 = (a^2 + b^2 - c^2 + 2ab)(a^2 + b^2 - c^2 - 2ab) = [(a^2 + 2ab + b^2) - c^2][(a^2 - 2ab + b^2) - c^2] = [(a + b)^2 - c^2] \cdot [(a - b)^2 - c^2] = (a + b + c)(a + b - c)(a - b + c)(a - b - c) $，又 $ \because a $，$ b $，$ c $ 是 $ \triangle ABC $ 的三边长，$ \therefore a + b + c ＞ 0 $，$ a + b - c ＞ 0 $，$ a - b + c ＞ 0 $，$ a - b - c ＜ 0 $。$ \therefore (a^2 + b^2 - c^2)^2 - 4a^2b^2 = (a + b + c)(a + b - c)(a - b + c)(a - b - c) ＜ 0 $。$ \therefore (a^2 + b^2 - c^2)^2 - 4a^2b^2 $ 是负的。

14. 已知$N=5^{2}×3^{2n+1}×2^{n}-3^{n}×6^{n+2}$，则下列各数中，能整除$N$的是 （D）
A. $5$
B. $7$
C. $8$
D. $13$

答案： 14. D 解析：$ N = 5^2 \times 3^{2n + 1} \times 2^n - 3^n \times 6^{n + 2} = 25 \times 3^{n + 1} \times 3^n \times 2^n - 3^n \times 6^{n + 2} = 25 \times 3 \times 3^n \times (3^n \times 2^n) - 3^n \times 6^2 \times 6^n = 3^n \times 6^n \times (75 - 36) = 39 \times 3^n \times 6^n $。$ \because N $ 中有一个因数是 $ 39 = 3 \times 13 $，$ \therefore N $ 是 13 的倍数，即 13 能整除 $ N $。

15. （2024·邵阳期末）先阅读材料，再解答问题：
分解因式：$(a-b)^{2}-2(a-b)+1$.
解：设$a-b=M$，则原式$=M^{2}-2M+1=(M-1)^{2}$.
再将$a-b=M$还原，得到原式$=(a-b-1)^{2}$.
上述解题过程中用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想，请你用整体思想解决下列问题：
（1）分解因式：$(x+y)(x+y-4)+4$.
（2）求证：当$a$为正整数时，$(a-1)(a-2)(a-3)(a-4)+1$为整数的平方.

答案： 15.
(1) 设 $ M = x + y $，则原式 $ = M \cdot (M - 4) + 4 = M^2 - 4M + 4 = (M - 2)^2 $。将 $ M = x + y $ 还原，得原式 $ = (x + y - 2)^2 $
(2) 原式 $ = (a - 1)(a - 4)(a - 2) \cdot (a - 3) + 1 = (a^2 - 5a + 4)(a^2 - 5a + 6) + 1 $。$ \because a $ 为正整数，$ \therefore (a - 1)(a - 4) = a^2 - 5a + 4 $ 是整数。设 $ N = a^2 - 5a + 4 $，则 $ N $ 是整数。$ \therefore $ 原式 $ = N(N + 2) + 1 = N^2 + 2N + 1 = (N + 1)^2 $。$ \because N $ 为整数，$ \therefore N + 1 $ 为整数。$ \therefore (N + 1)^2 $ 为整数的平方。$ \therefore $ 当 $ a $ 为正整数时，$ (a - 1)(a - 2) \cdot (a - 3)(a - 4) + 1 $ 为整数的平方。