《2025年拔尖特训八年级数学上册人教版》

1. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，$BD$平分$\angle ABC$交$AC$于点$G$，$DM// BC$交$\triangle ABC$的外角的平分线于点$M$，交$AB$，$AC$于点$F$，$E$。下列结论中，正确的是（）

A. $EF=ED$
B. $FD=BC$
C. $EC=MF$
D. $EC=AG$

答案：
C
方法归纳
角平分线和平行线构造等腰三角形模型
常见的角平分线和平行线构造等腰三角形模型有以下四种:

2. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ABC$的平分线交$AC$于点$D$，$AD=6$，过点$D$作$DE// BC$，交$AB$于点$E$。若$\triangle AED$的周长为$16$，则边$AB$的长为______10。

答案： 10

3. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle A=\angle ABE$，$CD$平分$\angle BCE$，且$CD\perp BE$于点$D$，$AC=5$，$BC=3$，则$DE$的长为1。

答案： 1

4. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB=AC$。过点$A$作$AD// BC$，交$\angle ACB$的平分线于点$D$，连接$BD$。
（1）求证：$\triangle ABD$是等腰三角形。
（2）若$\angle BDC=20^{\circ}$，求$\angle ADC$的度数。

答案：
(1)
∵AD//BC，
∴∠ADC=∠DCB.
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠DCB.
∴∠ADC=∠ACD.
∴AD=AC.
∵AB=AC，
∴AD=AB.
∴△ABD是等腰三角形.
(2)设∠ADC=x.
由
(1)，可得∠ADC=∠ACD=∠DCB=x.
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=2x.
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=2x.
∵∠BDC=20°，
∴∠ADB=∠ADC+∠BDC=x+20°.
∵AD=AB，
∴∠ADB=∠ABD=x+20°.
∵∠BDC+∠DBC+∠DCB=180°，
∴∠BDC+∠ABD+∠ABC+∠DCB=180°.
∴20°+x+20°+2x+x=180°，解得x=35°.
∴∠ADC=35°.

5. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，点$M$在$CA$的延长线上，$MN\perp BC$于点$N$，交$AB$于点$O$。若$AO=3$，$BO=4$，则$MC$的长为（C）
A. $12$
B. $9$
C. $10$
D. $11$

答案： 5.C　解析:
∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
∵MN⊥BC，
∴∠MNC=∠MNB=90°，
∴∠B+∠BON=90°，∠C+∠M=90°.
∴∠M=∠BON.
∵　∠BON=∠MOA，
∴∠M=∠MOA.
∴AM=AO=3.
∵BO=4，
∴AB=AC=AO+BO=7.
∴MC=AM+AC=10.

6. （2025·泰州靖江段考）如图，$AB// CD$，$\angle BAC$的平分线与$CD$交于点$E$，$F$为射线$AB$上的一个动点，连接$EF$，过点$C$作$CG\perp EF$于点$G$。若$FG=EG$，$\angle BAC=70^{\circ}$，则$\angle AEF$的度数为（B）

A. $10^{\circ}$
B. $20^{\circ}$
C. $25^{\circ}$
D. $35^{\circ}$

答案： 6.B

7. 在如图所示的$5$个三角形中，均有$AB=AC$，经过三角形一个顶点的一条直线不能将这个三角形分成两个小等腰三角形的为②⑤（填序号）。

答案： 7.②⑤　解析:①如图①，过点B作∠ABC的平分线，交AC于点D.
∵AB=AC，∠A=36°，
∴易得∠ABC=∠C=72°.
∴∠ABD=∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=36°=∠A.
∴BD=AD，∠BDC=36°+36°=72°，
∴∠BDC=∠C.
∴BD=BC.
∴△ABD和△BCD是等腰三角形.
∴能将这个三角形分成两个小等腰三角形.②不能将这个三角形分成两个小等腰三角形.③如图②，过点A作∠BAC的平分线，交BC于点D.
∴∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=45°.
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴易得∠B=∠C=45°.
∴易得△ABD和△ACD是等腰三角形.
∴能将这个三角形分成两个小等腰三角形.④如图③，过点A把∠BAC分成36°和72°两个角，则∠BAD=36°，∠CAD=72°.
∵∠BAC=108°，AB=AC，
∴易得∠B=∠C=36°.
∴∠BAD=∠B，易得∠ADC=∠CAD.
∴易得△ABD和△ACD是等腰三角形.
∴能将这个三角形分成两个小等腰三角形.⑤不能将这个三角形分成两个小等腰三角形.综上所述，不能将这个三角形分成两个小等腰三角形的为②⑤.

8. 如图，$CE$平分$\angle ACB$，且$CE\perp DB$于点$E$，$\angle DAB=\angle DBA$。若$AC=14$，$\triangle CDB$的周长为$20$，则$BD$的长为______8。

答案： 8.8　解析:
∵CE⊥DB，
∴∠CED=∠CEB=90°.
∵CE平分∠ACB，
∴∠DCE=∠BCE.
∴∠CDE=∠CBE.
∴CD=CB.
∵∠DAB=∠DBA，
∴AD=BD.
∵△CDB的周长为20，
∴CD+CB+BD=20.
∵AC=14，
∴AD+CD=14.
∴BD+CD=14.
∴CB=20−14=6.
∴CD=CB=6.
∴BD=AD=14−6=8.