《2025年拔尖特训八年级数学上册人教版》

1. 有下列多项式：①$a^{2}+b^{2}$；②$a^{2}-b^{2}$；③$-a^{2}+b^{2}$；④$-a^{2}-b^{2}$.其中，能用平方差公式进行因式分解的是（D）
A. ①②
B. ①④
C. ③④
D. ②③

答案： D

2. $x^{4}-1$分解因式的结果为（D）
A. $(x^{4}+1)(x^{4}-1)$
B. $(x^{4}+1)(x^{2}-1)$
C. $(x^{2}+1)(x^{2}-1)$
D. $(x^{2}+1)(x+1)(x-1)$

答案： D

3. （2023·内江）分解因式：$x^{3}-xy^{2}=$$ x(x + y)(x - y) $.

答案： $ x(x + y)(x - y) $

4. 若$6x+3y=4$，$x-\frac {y}{2}=1$，则$4x^{2}-y^{2}=$$\frac{8}{3}$.

答案： $ \frac{8}{3} $

5. 把下列各式分解因式：
（1）$m^{2}-(2m+3)^{2}$.
（2）$(m+1)(m-9)+8m$.
（3）$x^{2}(x-y)+y^{2}(y-x)$.

答案： （1）原式 $ = (m + 2m + 3)(m - 2m - 3) = (3m + 3)(-m - 3) = -3(m + 1)(m + 3) $
（2）原式 $ = m^2 - 8m - 9 + 8m = m^2 - 9 = (m + 3)(m - 3) $
（3）原式 $ = x^2(x - y) - y^2(x - y) = (x^2 - y^2)(x - y) = (x + y)(x - y)(x - y) = (x - y)^2(x + y) $

6. 下列各数中，可以写成两个相邻奇数的平方差形式的是（A）
A. 520
B. 502
C. 250
D. 205

答案： A 解析：设较小的奇数为 $ 2m - 1 $，则与之相邻的较大的奇数为 $ 2m + 1 $。
∴ 这两个相邻奇数的平方差为 $ (2m + 1)^2 - (2m - 1)^2 = 8m $。
∴ 两个相邻奇数的平方差能被8整除。
∵ $ 520 ÷ 8 = 65 $，$ 502 ÷ 8 = 62 \cdots \cdots 6 $，$ 250 ÷ 8 = 31 \cdots \cdots 2 $，$ 205 ÷ 8 = 25 \cdots \cdots 5 $，
∴ 可以写成两个相邻奇数的平方差形式的是520。

7. 已知$a$，$b$，$c$是三角形的三边长，则$(a-b)^{2}-c^{2}$的值（B）
A. 大于0
B. 小于0
C. 等于0
D. 无法确定

答案： B

8. 若$a+b=4$，$a-b=1$，则$(a+1)^{2}-(b-1)^{2}$的值为12.

答案： 12

9. 已知$a+b=1$，则$a^{2}-b^{2}+2b+9$的值为10.

答案： 10

10. 若$n$为任意整数，且$(n+17)^{2}-n^{2}$的值总可以被$k$（$k$为正整数，且$k≠1$）整除，则$k$的值为17.

答案： 17 解析：
∵ $ (n + 17)^2 - n^2 = (n + 17 + n)(n + 17 - n) = 17(2n + 17) $，
∴ $ (n + 17)^2 - n^2 $ 的值总可以被17整除。
∴ $ k $ 的值为17。

11. 利用因式分解简便计算：
（1）$\frac {321^{2}-123^{2}}{543^{2}-345^{2}}$.
（2）$\frac {1^{2}-2^{2}}{1+2}+\frac {2^{2}-3^{2}}{2+3}+...+\frac {999^{2}-1000^{2}}{999+1000}$.

答案： （1）原式 $ = \frac{(321 + 123)×(321 - 123)}{(543 - 345)×(543 + 345)} = \frac{444×198}{198×888} = \frac{1}{2} $
（2）原式 $ = \frac{(1 + 2)(1 - 2)}{1 + 2} + \frac{(2 + 3)(2 - 3)}{2 + 3} + \cdots + \frac{(999 + 1000)(999 - 1000)}{999 + 1000} = -1 + (-1) + \cdots + (-1) = -999 $