《2025年拔尖特训八年级数学上册人教版》

9. 如图,在$\triangle ABC$中,$CH\perp AB$,$D$为边$BC$的中点.若$\triangle ABD$的面积为$2$,$AB = 3$,则$CH$的长为$\frac{8}{3}$.

答案： $\frac{8}{3}$　解析:
∵D为边BC的中点，
∴BD = CD.又
∵△ABD的面积为2，
∴S△ABC = 2S△ABD = 2 × 2 = 4.
∵CH⊥AB，
∴S△ABC = $\frac{1}{2}$ AB · CH.
∵AB = 3，
∴$\frac{1}{2}$ × 3CH = 4.
∴CH = $\frac{8}{3}$.

10. 如图,在$\triangle ABC$中,点$D$,$E$分别在边$BC$,$AB$上,$AD$交$CE$于点$F$.
(1) 图中共有几个三角形? 把它们一一写出来.
(2) 写出含有$\angle ADC$的三角形.
(3) 在$\triangle ACF$中,写出$\angle ACF$的对边.
(4) 以线段$BC$为边的三角形有哪些?

答案：
(1)图中共有8个三角形，分别是△AEF，△ABD，△AEC，△ABC，△AFC，△ACD，△CDF，△BCE.
(2)含有∠ADC的三角形有△ACD，△CDF.
(3)在△ACF中，∠ACF的对边是AF.
(4)以线段BC为边的三角形有△ABC，△BCE.

11. 观察如图所示的图形,回答问题:
(1) 图②中共有3个三角形;图③中共有5个三角形;图④中共有7个三角形……猜测图⑦中共有13个三角形.
(2) 按上面的方法继续下去,图$n$中共有多少个三角形(用含$n$的代数式表示)?
∵图②中共有3个三角形，3 = 2 × 2 - 1；图③中共有5个三角形，5 = 2 × 3 - 1；图④中共有7个三角形，7 = 2 × 4 - 1；...；
∴图ⓝ中共有(2n - 1)个三角形.

答案：
(1)3,5,7,13.
(2)
∵图②中共有3个三角形，3 = 2 × 2 - 1；图③中共有5个三角形，5 = 2 × 3 - 1；图④中共有7个三角形，7 = 2 × 4 - 1；...；
∴图ⓝ中共有(2n - 1)个三角形.

12. 如图,在长方形$ABCD$中,$AB = 4\mathrm{cm}$,$BC = 3\mathrm{cm}$,$E$为$CD$的中点,动点$P$从点$A$出发,以$1\mathrm{cm}/\mathrm{s}$的速度沿$A\to B\to C\to E$运动,最终到达点$E$.若点$P$运动的时间为$x\mathrm{s}$,则当$\triangle APE$的面积为$5\mathrm{cm}^{2}$时,$x$的值为（ ）

A. $\frac{10}{3}$
B. 5
C. $\frac{10}{3}$或5
D. $\frac{7}{3}$

答案：
C　解析:由题意，易知AB = CD = 4 cm，AD = BC = 3 cm.
∵E为CD的中点，
∴CE = DE = 2 cm.①如图①，当点P在AB上时，0 ≤ x ≤ 4.
∵△APE的面积为5 cm²，
∴$\frac{1}{2}$ x · 3 = 5，解得x = $\frac{10}{3}$.②如图②，当点P在BC上时，4 ≤ x ≤ 7.
∵△APE的面积为5 cm²，
∴S长方形ABCD - S△CPE - S△ADE - S△ABP = 5 cm²，
∴4 × 3 - $\frac{1}{2}$ (4 + 3 - x) · 2 - $\frac{1}{2}$ × 3 × 2 - $\frac{1}{2}$ × 4 (x - 4) = 5，解得x = 5.③如图③，当点P在CE上时，7 ≤ x ≤ 9.
∵△APE的面积为5 cm²，
∴$\frac{1}{2}$ (4 + 3 + 2 - x) · 3 = 5，解得x = $\frac{17}{3}$(不合题意，舍去).综上所述，当x的值为$\frac{10}{3}$或5时，△APE的面积为5 cm².
　　　

13. 分类讨论思想 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AC = 6$,$BC = 8$,$AB = 10$,$E$是边$BC$的中点,动点$P$从点$A$出发,以每秒2个单位长度的速度沿$A\to C\to B\to A$运动,回到点$A$时停止运动.设点$P$运动的时间是$t$秒.
(1) $CE = $____.
(2) 当点$P$在边$BC$上运动时,用含$t$的代数式表示$PE$的长.
(3) 当$t$为何值时,$\triangle APE$的面积等于6?

答案：

(1)4.
(2)根据题意，得点P在边AC上运动的时间为6÷2 = 3(秒)，点P从点C运动到点E需要4÷2 = 2(秒)，点P从点C运动到点B需要8÷2 = 4(秒).当点P在点E的左侧(含点E)，即3 ≤ t ≤ 5时，PE = CE - CP = 4 - 2(t - 3) = 10 - 2t；当点P在点E的右侧，即5 ＜ t ≤ 7时，PE = CP - CE = 2(t - 3) - 4 = 2t - 10.综上所述，PE = $\begin{cases} 10 - 2t, & 3 \leq t \leq 5, \\ 2t - 10, & 5 ＜ t \leq 7. \end{cases}$
(3)如图①，当点P在AC上(0 ≤ t ≤ 3)时，根据题意，得$\frac{1}{2}$ × 2t · 4 = 6，解得t = $\frac{3}{2}$.如图②，当点P在CE上(3 ＜ t ≤ 5)时，根据题意，得$\frac{1}{2}$ (10 - 2t) · 6 = 6，解得t = 4.如图③，当点P在BE上(5 ＜ t ≤ 7)时，根据题意，得$\frac{1}{2}$ (2t - 10) × 6 = 6，解得t = 6.如图④，当点P在AB上(7 ＜ t ≤ 12)时，过点E作EG⊥AB于点G.
∵S△ABC = S△ACE + S△ABE，
∴$\frac{1}{2}$ × 6 × 8 = $\frac{1}{2}$ × 6 × 4 + $\frac{1}{2}$ × 10EG，解得EG = $\frac{12}{5}$.
根据题意，得$\frac{1}{2}$ × [10 - 2(t - 7)] × $\frac{12}{5}$ = 6，解得t = $\frac{19}{2}$.
综上所述，当t的值为$\frac{3}{2}$或4或6或$\frac{19}{2}$时，△APE的面积等于6.