《2025年拔尖特训八年级数学上册人教版》

1. 如图,在△ABC中,BF,CF分别是∠ABC,∠ACB的平分线.若∠F=100°,则∠A的度数为20°.

答案： $20^{\circ}$

2. 如图,∠MON=80°,点A,B分别在射线OM,ON上移动,△AOB的角平分线AC与BD交于点P.随着点A,B位置的变化,∠APB的度数是否会变化?若不变,请说明理由;若变化,请求出变化范围.

答案： $\angle APB$ 的度数不变.
理由：$\because \triangle AOB$ 的角平分线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $P$，
$\therefore \angle PAB=\frac{1}{2}\angle OAB,\angle PBA=\frac{1}{2}\angle OBA$.
$\therefore \angle PAB+\angle PBA=\frac{1}{2}\angle OAB+\frac{1}{2}\angle OBA=\frac{1}{2}(\angle OAB+\angle OBA)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle AOB)=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle AOB$.
$\therefore \angle APB=180^{\circ}-(\angle PAB+\angle PBA)=180^{\circ}-(90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle AOB)=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle AOB$.
$\because \angle AOB=80^{\circ}$，
$\therefore \angle APB=90^{\circ}+\frac{1}{2}\times80^{\circ}=130^{\circ}$，即随着点 $A,B$ 位置的变化，$\angle APB$ 的度数不变，始终为 $130^{\circ}$.

3. (1)如图①,在△ABC中,∠A=60°,∠ABC,∠ACB的三等分线交于点O₁,O₂,连接O₁O₂,则∠BO₂O₁的度数为50°.
(2)如图②,在△ABC中,∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O₁,O₂.若∠1=115°,∠2=135°,求∠A的度数.70°

答案：
(1) $50^{\circ}$. 解析：$\because \angle ABC,\angle ACB$ 的三等分线交于点 $O_{1},O_{2}$，
$\therefore \angle O_{2}BC=\frac{2}{3}\angle ABC,\angle O_{2}CB=\frac{2}{3}\angle ACB,BO_{1}$ 平分 $\angle O_{2}BC,CO_{1}$ 平分 $\angle O_{2}CB$. $\therefore$ 易得 $O_{2}O_{1}$ 平分 $\angle BO_{2}C$. $\therefore \angle O_{2}BC+\angle O_{2}CB=\frac{2}{3}(\angle ABC+\angle ACB)=\frac{2}{3}\times(180^{\circ}-\angle A)=\frac{2}{3}\times(180^{\circ}-60^{\circ})=\frac{2}{3}\times120^{\circ}=80^{\circ}$. $\therefore \angle BO_{2}C=180^{\circ}-(\angle O_{2}BC+\angle O_{2}CB)=180^{\circ}-80^{\circ}=100^{\circ}$. $\therefore \angle BO_{2}O_{1}=\frac{1}{2}\angle BO_{2}C=\frac{1}{2}\times100^{\circ}=50^{\circ}$.
(2) $\because \angle 2$ 是 $\triangle O_{2}O_{1}B$ 的外角，
$\therefore \angle 2=\angle 1+\angle O_{1}BO_{2}$.
$\because \angle 1=115^{\circ},\angle 2=135^{\circ}$，
$\therefore \angle O_{1}BO_{2}=\angle 2-\angle 1=135^{\circ}-115^{\circ}=20^{\circ}$.
$\because$ 由题意知，$BO_{2},BO_{1}$ 是 $\angle ABC$ 的三等分线，
$\therefore \angle O_{1}BC=\angle O_{1}BO_{2}=20^{\circ},\angle ABC=3\angle O_{1}BO_{2}=3\times20^{\circ}=60^{\circ}$.
$\therefore \angle O_{1}CB=180^{\circ}-\angle 2-\angle O_{1}BC=180^{\circ}-135^{\circ}-20^{\circ}=25^{\circ}$.
$\because CO_{1}$ 是 $\angle ACB$ 的平分线，
$\therefore \angle ACB=2\angle O_{1}CB=2\times25^{\circ}=50^{\circ}$.
$\therefore \angle A=180^{\circ}-\angle ABC-\angle ACB=180^{\circ}-60^{\circ}-50^{\circ}=70^{\circ}$.