《2025年拔尖特训八年级数学上册人教版》

8. 如图，$AB=4cm$，$AC=BD=3cm$，$∠CAB=∠DBA$，点$P$在线段$AB$上以$1cm/s$的速度由点$A$向点$B$运动. 同时，点$Q$在线段$BD$上由点$B$向点$D$运动，设运动时间为$ts$，则当$△ACP$与$△BPQ$全等时，点$Q$的运动速度为$\frac{3}{2}$ cm/s 或 1 cm/s.

答案： $\frac{3}{2}$ cm/s 或 1 cm/s 解析：设点 Q 的运动速度是 x cm/s。
∵ ∠CAB = ∠DBA，
∴ 当△ACP 与△BPQ 全等时，有两种情况：① 若△ACP ≌ △BQP，则 AP = BP，AC = BQ。
∴ 1·t = 4 - 1·t，解得 t = 2。
∴ 3 = 2x，解得 $x = \frac{3}{2}$。② 若△ACP ≌ △BPQ，则 AP = BQ，AC = BP。
∴ 1·t = tx，3 = 4 - 1·t，解得 t = 1，x = 1。综上所述，点 Q 的运动速度为 $\frac{3}{2}$ cm/s 或 1 cm/s。

9. 在$△ABC$和$△ADE$中，$AB=AC$，$AD=AE$，$∠BAC=∠DAE=90^{\circ }$.
（1）如图①，当点$D$在$AC$上时，线段$BD$，$CE$有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出结论.
（2）如图②，将图①中的$△ADE$绕点$A$按顺时针方向旋转$\alpha (0^{\circ }＜\alpha ＜90^{\circ })$，（1）中的结论是否仍然成立？请判断并说明理由.

答案：
(1) BD = CE，BD⊥CE。
(2)
(1)中的结论仍然成立。
理由：
∵ ∠BAC = ∠DAE = 90°，
∴ ∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC，即 ∠BAD = ∠CAE。
在△ABD 和△ACE 中，
$\left\{ \begin{array}{l} AB = AC, \\ ∠BAD = ∠CAE, \\ AD = AE, \end{array} \right. $
∴ △ABD ≌ △ACE(SAS)。
∴ BD = CE，∠ABD = ∠ACE。
延长 BD 交 AC 于点 F，交 CE 于点 H。
在△ABF 和△HCF 中，
∵ ∠ABF = ∠HCF，∠AFB = ∠HFC，
∴ ∠CHF = ∠BAF = 90°。
∴ BD⊥CE。

10. 在$△CAB$和$△CDE$中，$CA=CB$，$CD=CE$，$∠ACB=∠DCE=\alpha $，连接$AD$，$BE$.
（1）如图①，求证：$△ACD\cong △BCE$.
（2）如图②，当$\alpha =90^{\circ }$时，取$AD$，$BE$的中点$P$，$Q$，连接$CP$，$CQ$，$PQ$，判断$△CPQ$的形状，并给出证明.

答案：
(1)
∵ ∠ACB = ∠DCE = α，
∴ ∠ACB + ∠BCD = ∠DCE + ∠BCD，即 ∠ACD = ∠BCE。
在△ACD 和△BCE 中，
$\left\{ \begin{array}{l} CA = CB, \\ ∠ACD = ∠BCE, \\ CD = CE, \end{array} \right. $
∴ △ACD ≌ △BCE(SAS)。
(2) △CPQ 为等腰直角三角形。
由
(1)，易得△ACD ≌ △BCE。
∴ ∠CAD = ∠CBE，AD = BE。
∵ AD，BE 的中点分别为 P，Q，
∴ 易得 AP = BQ。
在△ACP 和△BCQ 中，
$\left\{ \begin{array}{l} CA = CB, \\ ∠CAP = ∠CBQ, \\ AP = BQ, \end{array} \right. $
∴ △ACP ≌ △BCQ(SAS)。
∴ CP = CQ，∠ACP = ∠BCQ。
∵ ∠ACP + ∠PCB = ∠ACB = α = 90°，
∴ ∠BCQ + ∠PCB = 90°，即 ∠PCQ = 90°。
∴ △CPQ 为等腰直角三角形。