《2025年拔尖特训八年级数学上册人教版》

1. （2023·秦皇岛期末）如图所示为钝角三角形ABC，按以下步骤进行尺规作图，并保留作图痕迹。步骤1：以点C为圆心，CB长为半径画弧；步骤2：以点A为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D；步骤3：连接BD，交AC的延长线于点E。下列叙述中，正确的是（D）

A. BC平分∠ABD
B. AB=BD
C. AE=BD
D. BE=DE

答案： D

2. 在等腰三角形ABC中，AD是△ABC的高。若AD=1/2BC，则△ABC的底角的度数为（D）
A. 15°或45°
B. 30°或90°
C. 30°或60°或90°
D. 15°或45°或75°

答案： D

3. 如图，△ABC的三条高相交于点G，CH是△ABC的角平分线，CH与BE相交于点I，AD与CH相交于点J，∠ABC=45°，∠ACD=60°，则图中的等腰三角形共有（D）
A. 5个
B. 6个
C. 7个
D. 8个

答案： D 解析: ① $\because AD\perp BC$, $\angle ABC=45^{\circ}$, $\therefore$ 易得 $\triangle ABD$ 是等腰三角形. ② $\because CF\perp AB$, $\angle ABC=45^{\circ}$, $\therefore$ 易得 $\triangle BCF$ 是等腰三角形. ③ $\because \angle ACB=60^{\circ}$, $\therefore \angle CBE=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$. $\because CH$ 是 $\triangle ABC$ 的角平分线, $\therefore \angle BCH=\angle ACH=\frac{1}{2}\angle ACB=30^{\circ}$. $\therefore \angle CBI=\angle ICB$. $\therefore \triangle BCI$ 是等腰三角形. ④ $\because \angle ACB=60^{\circ}$, $\therefore \angle CAD=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$. $\therefore$ 易得 $\angle ACJ=\angle CAJ=30^{\circ}$. $\therefore \triangle ACJ$ 是等腰三角形. ⑤ $\because \angle ACF=60^{\circ}-45^{\circ}=15^{\circ}$, $\therefore \angle CAF=90^{\circ}-15^{\circ}=75^{\circ}$. $\therefore \angle AHC=\angle ABC+\angle BCH=45^{\circ}+30^{\circ}=75^{\circ}$. $\therefore \angle CAH=\angle CHA=75^{\circ}$. $\therefore \triangle ACH$ 是等腰三角形. ⑥ $\because \angle GCD=45^{\circ}$, $\angle GDC=90^{\circ}$, $\therefore \angle DGC=45^{\circ}$. $\therefore \angle GCD=\angle DGC$. $\therefore \triangle CDG$ 是等腰三角形. ⑦ $\because \angle GIJ=\angle EBC+\angle HCB=30^{\circ}+30^{\circ}=60^{\circ}$, $\angle GJI=\angle CJD=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$, $\therefore \angle GIJ=\angle GJI=60^{\circ}$. $\therefore \triangle GIJ$ 是等腰三角形. ⑧ $\because \angle FAG=\angle CAH-\angle CAD=75^{\circ}-30^{\circ}=45^{\circ}$, $\angle FGA=\angle DGC=45^{\circ}$, $\therefore \angle FAG=\angle FGA$. $\therefore \triangle AFG$ 是等腰三角形. 综上所述, 图中的等腰三角形共有 $8$ 个.

4. 如图，在△ABC中，AC=BC，AB=6，△ABC的面积为12，CD⊥AB于点D，直线EF垂直平分BC，交AB于点E，交BC于点F，P是线段EF上的一个动点，则△PBD的周长的最小值是（B）
A. 6
B. 7
C. 10
D. 12

答案： B

5. 如图，△ABC是等边三角形，BD=CD，E是边AC上的点，DE//AB，与BC交于点F。有下列结论：①连接AD，则AD垂直平分线段BC；②△CEF是等边三角形；③若AB=8，CE=2，则CF=4；④若∠CBD=40°，则∠EDC=10°。其中，正确的是①②（填序号）。
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答案： ①②

6. 如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AE为边BC上的高。若BE=1，AB=4，则BC的长为________。
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答案：
6 解析: 如图, 在 $CE$ 上截取 $EF=BE=1$, 连接 $AF$. $\because AE\perp BF$, $\therefore$ 易得 $AB=AF=4$. $\therefore \angle B=\angle AFB$. $\because \angle AFB=\angle C+\angle CAF$, $\therefore \angle B=\angle C+\angle CAF$. $\because \angle B=2\angle C$, $\therefore \angle C=\angle CAF$. $\therefore CF=AF=4$. $\therefore BC=BE+EF+CF=6$.

7. （2024·眉山东坡期末）如图，在等边三角形ABC中，AD为边BC上的高，点M，N分别在AD，AC上，且AM=CN，连接BM，BN。当BM+BN的值最小时，∠MBN=________。
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答案：
$30^{\circ}$ 解析: 如图①, 过点 $C$ 作 $CH\perp BC$, 使得 $CH=BC$, 连接 $NH$, $BH$. $\because \triangle ABC$ 是等边三角形, $AD\perp BC$, $CH\perp BC$, $\therefore \angle DAC=\angle DAB=30^{\circ}$, $AD// CH$. $\therefore \angle HCN=\angle CAD=\angle BAM=30^{\circ}$. $\because AM=CN$, $AB=BC=CH$, $\therefore \triangle ABM\cong \triangle CHN$. $\therefore BM=HN$. $\because BN+HN\geqslant BH$, $\therefore$ 当 $B$, $N$, $H$ 三点共线时, $BM+BN=NH+BN$ 的值最小. 如图②, 当 $B$, $N$, $H$ 三点共线时, $\because \triangle ABM\cong \triangle CHN$, $\therefore$ 易得 $\angle ABM=\angle CHB=\angle CBH=45^{\circ}$. $\because \angle ABD=60^{\circ}$, $\therefore \angle DBM=\angle ABD-\angle ABM=60^{\circ}-45^{\circ}=15^{\circ}$. $\therefore \angle MBN=\angle CBH-\angle DBM=45^{\circ}-15^{\circ}=30^{\circ}$. $\therefore$ 当 $BM+BN$ 的值最小时, $\angle MBN=30^{\circ}$.
　　　
　　　　

8. 如图，在△ABC中，点D，E在边AB上，且分别在AC，BC的垂直平分线上。
（1）若△CDE的周长为4，求AB的长。
（2）若∠ACB=100°，求∠DCE的度数。
（3）若∠ACB=x（90°＜x＜180°），求∠DCE的度数。
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答案：
(1) $\because$ 点 $D$, $E$ 分别在 $AC$, $BC$ 的垂直平分线上, $\therefore DC=DA$, $EC=EB$. $\because \triangle CDE$ 的周长 $=DC+DE+EC=4$, $\therefore DA+DE+EB=4$, 即 $AB$ 的长为 $4$.
(2) $\because \angle ACB=100^{\circ}$, $\therefore \angle A+\angle B=80^{\circ}$. $\because DC=DA$, $\therefore \angle DCA=\angle A$. $\because EC=EB$, $\therefore \angle ECB=\angle B$. $\therefore \angle DCA+\angle ECB=80^{\circ}$. $\therefore \angle DCE=100^{\circ}-80^{\circ}=20^{\circ}$.
(3) $\because \angle ACB=x$, $\therefore \angle A+\angle B=180^{\circ}-x$. $\because DC=DA$, $\therefore \angle DCA=\angle A$. $\because EC=EB$, $\therefore \angle ECB=\angle B$. $\therefore \angle DCA+\angle ECB=180^{\circ}-x$. $\therefore \angle DCE=x-(180^{\circ}-x)=2x-180^{\circ}$.