《2025年拔尖特训八年级数学上册人教版》

12. （2024·无锡梁溪期中）已知$4m+n=40$，$2m-3n=5$.求$(m+2n)^{2}-(3m-n)^{2}$的值.

答案： $ (m + 2n)^2 - (3m - n)^2 = (m + 2n + 3m - n)(m + 2n - 3m + n) = (4m + n)(3n - 2m) = -(4m + n)·(2m - 3n) $
当 $ 4m + n = 40 $，$ 2m - 3n = 5 $ 时，原式 $ = -40×5 = -200 $

13. 如图，工人从一块半径为$R\mathrm{m}$的圆形板材上，裁下4个半径为$r\mathrm{m}$的小圆.
（1）求涂色部分的面积.
（2）若$R=6.8$，$r=1.6$，求涂色部分的面积（结果保留$π$）.

答案： （1）涂色部分的面积为 $ (πR^2 - 4πr^2)m^2 $
（2）
∵ $ R = 6.8 $，$ r = 1.6 $，
∴ 涂色部分的面积为 $ π×6.8^2 - π×4×1.6^2 = π×(6.8^2 - 3.2^2) = π×(6.8 + 3.2)×(6.8 - 3.2) = 36π(m^2) $

14. 现有一列式子：①$55^{2}-45^{2}$；②$555^{2}-445^{2}$；③$5555^{2}-4445^{2}$；…；则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为（D）
A. $1.1111111×10^{16}$
B. $1.1111111×10^{27}$
C. $1.111111×10^{56}$
D. $1.1111111×10^{17}$

答案： D 解析：根据题意，得第⑧个式子为 $ 555555555^2 - 444444445^2 = (555555555 + 444444445)×(555555555 - 444444445) = 1.111111×10^{17} $

15. （2023·扬州期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”.如$4=2^{2}-0^{2}$，$12=4^{2}-2^{2}$，$20=6^{2}-4^{2}$，因此4，12，20这三个数都是“神秘数”.
（1）28是“神秘数”吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为$2k+2$和$2k$（其中$k$为非负整数），由这两个连续偶数构造而成的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？
（3）若长方形的相邻两边长为两个连续偶数，试说明其周长一定为“神秘数”.
（4）若将三位数中最大的“神秘数”记为$a$，两位数中最大的“神秘数”记为$b$，请写出$a+b$的值.

答案： （1）28是“神秘数”。
∵ $ 28 = 8^2 - 6^2 $，
∴ 28是“神秘数”。
（2）由这两个连续偶数构造而成的“神秘数”是4的倍数。
∵ $ (2k + 2)^2 - (2k)^2 = 4k^2 + 8k + 4 - 4k^2 = 8k + 4 = 4(2k + 1) $，又
∵ $ k $ 为非负整数，
∴ $ 2k + 1 $ 为非负整数。
∴ 由这两个连续偶数构造而成的“神秘数”是4的倍数。
（3）设长方形的相邻两边长分别为 $ 2k + 2 $，$ 2k $，则其周长为 $ 2(2k + 2 + 2k) = 8k + 4 = (2k + 2)^2 - (2k)^2 $。
∴ 该长方形的周长一定为“神秘数”。
（4）由（2），得 $ 8k + 4 $ 是“神秘数”。由 $ 8k + 4 ＜ 1000 $，得 $ k ＜ 124.5 $。
∴ $ k $ 的最大整数值为124。
∴ $ a = 8×124 + 4 = 996 $。由 $ 8k + 4 ＜ 100 $，得 $ k ＜ 12 $。
∴ $ k $ 的最大整数值为11。
∴ $ b = 8×11 + 4 = 92 $。
∴ $ a + b = 996 + 92 = 1088 $