《2025年拔尖特训八年级数学上册人教版》

1. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle BAC=90^{\circ }$，$E$为边$BC$上的点，且$AB=AE$，$D$为线段$BE$的中点，连接$AD$，过点$E$作$EF\perp AE$，过点$A$作$AF// BC$，且$AF$，$EF$相交于点$F$.求证：
（1）$\angle C=\angle BAD$.
（2）$AC=EF$.

答案：
(1)
∵ $ AB = AE $，$ D $ 为线段 $ BE $ 的中点，
∴ $ AD \perp BC $。
∴ $ \angle C + \angle DAC = 90 ^ { \circ } $。
∵ $ \angle BAC = 90 ^ { \circ } $，
∴ $ \angle BAD + \angle DAC = 90 ^ { \circ } $。
∴ $ \angle C = \angle BAD $。
(2)
∵ $ EF \perp AE $，
∴ $ \angle AEF = 90 ^ { \circ } = \angle BAC $。
∵ $ AF // BC $，
∴ $ \angle FAE = \angle AEB $。
∵ $ AB = AE $，
∴ $ \angle B = \angle AEB $。
∴ $ \angle B = \angle FAE $。
在 $ \triangle ABC $ 和 $ \triangle EAF $ 中，
$ \left\{ \begin{array} { l } { \angle B = \angle FAE } \\ { AB = EA } \\ { \angle BAC = \angle AEF } \end{array} \right. $，
∴ $ \triangle ABC \cong \triangle EAF $。
∴ $ AC = EF $。

2. （2024·吉林磐石期末）如图，在$\text{Rt}\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ }$，$\angle BAC=60^{\circ }$，$AB$的垂直平分线交$AB$于点$D$，交$BC$于点$E$.若$CE=3\;\text{cm}$，求$BE$的长.

答案： 连接 $ AE $。
∵ $ \angle C = 90 ^ { \circ } $，$ \angle BAC = 60 ^ { \circ } $，
∴ $ \angle B = 90 ^ { \circ } - 60 ^ { \circ } = 30 ^ { \circ } $。
∵ $ DE $ 是 $ AB $ 的垂直平分线，
∴ $ AE = BE $。
∴ $ \angle BAE = \angle B = 30 ^ { \circ } $。
∴ $ \angle CAE = \angle BAC - \angle BAE = 30 ^ { \circ } $。
∴ $ \angle BAE = \angle CAE $。
∵ $ ED \perp AB $，$ EC \perp AC $，
∴ $ DE = CE = 3 \mathrm { cm } $。
又
∵ $ \angle B = 30 ^ { \circ } $，
∴ $ BE = 2 DE = 6 \mathrm { cm } $。

3. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB=AC$，$\angle BAC=36^{\circ }$，$BD$是$\angle ABC$的平分线，交$AC$于点$D$，$E$是$AB$的中点，连接$ED$并延长，交$BC$的延长线于点$F$，连接$AF$.
（1）求证：$FE\perp AB$.
（2）若$AF=8$，$BC=3$，求$AC$的长.

答案：
(1)
∵ $ AB = AC $，$ \angle BAC = 36 ^ { \circ } $，
∴ $ \angle ABC = \angle ACB = \frac { 1 } { 2 } \times ( 180 ^ { \circ } - 36 ^ { \circ } ) = 72 ^ { \circ } $。
又
∵ $ BD $ 是 $ \angle ABC $ 的平分线，
∴ $ \angle ABD = \frac { 1 } { 2 } \angle ABC = \frac { 1 } { 2 } \times 72 ^ { \circ } = 36 ^ { \circ } $。
∴ $ \angle BAD = \angle ABD $。
∴ $ AD = BD $。
又
∵ $ E $ 是 $ AB $ 的中点，
∴ $ DE \perp AB $，即 $ FE \perp AB $。
(2)
∵ 由
(1)，知 $ FE \perp AB $，$ E $ 是 $ AB $ 的中点，
∴ $ FE $ 垂直平分 $ AB $。
∴ $ BF = AF = 8 $。
∴ $ CF = BF - BC = 8 - 3 = 5 $。
∵ 易知 $ \angle BAF = \angle ABF = 72 ^ { \circ } $，
∴ $ \angle CAF = \angle BAF - \angle BAC = 36 ^ { \circ } $，$ \angle AFB = 180 ^ { \circ } - 2 \angle ABF = 36 ^ { \circ } $。
∴ $ \angle CAF = \angle AFB $。
∴ $ AC = CF = 5 $。

4. 如图，$\angle ADC=90^{\circ }$，$DC// AB$，$BA=BC$，$AE\perp BC$，垂足为$E$，$F$为$AC$的中点，连接$BF$.
（1）求证：$\angle AFB=90^{\circ }$.
（2）求证：$\triangle ADC≌ \triangle AEC$.
（3）连接$DE$，试判断$DE$与$BF$的位置关系，并加以证明.

答案：
(1)
∵ $ BA = BC $，$ F $ 是 $ AC $ 的中点，
∴ $ BF \perp AC $。
∴ $ \angle AFB = 90 ^ { \circ } $。
(2)
∵ $ AE \perp BC $，
∴ $ \angle AEC = 90 ^ { \circ } $。
∵ $ \angle ADC = 90 ^ { \circ } $，
∴ $ \angle ADC = \angle AEC $。
∵ $ DC // AB $，
∴ $ \angle DCA = \angle CAB $。
∵ $ BA = BC $，
∴ $ \angle ECA = \angle CAB $。
∴ $ \angle DCA = \angle ECA $。
在 $ \triangle ADC $ 和 $ \triangle AEC $ 中，
$ \left\{ \begin{array} { l } { \angle ADC = \angle AEC } \\ { \angle DCA = \angle ECA } \\ { AC = AC } \end{array} \right. $，
∴ $ \triangle ADC \cong \triangle AEC $。
(3) $ DE // BF $。
设 $ DE $ 交 $ AC $ 于点 $ H $。
∵ $ \triangle ADC \cong \triangle AEC $，
∴ $ AD = AE $，$ \angle DAH = \angle EAH $。
∴ $ AH \perp DE $。
∴ $ \angle AHE = 90 ^ { \circ } $。
∵ $ \angle AFB = 90 ^ { \circ } $，
∴ $ \angle AFB = \angle AHE $。
∴ $ DE // BF $。