《2025年拔尖特训八年级数学上册人教版》

6. 如图,在△ABC中,AB=AC,AB＞BC,点D在边BC上,CD=2BD,点E,F在线段AD上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为21,则△CAF与△BDE的面积之和是(B)
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9

答案： B 解析：
∵ $ \angle 1 = \angle ABE + \angle BAE, \angle 1 = \angle BAC $，
∴ $ \angle BAC = \angle ABE + \angle BAE $.
∵ $ \angle BAC = \angle BAE + \angle CAF $，
∴ $ \angle ABE = \angle CAF $.
∵ $ \angle 1 = \angle 2 $，
∴ 易得 $ \angle AEB = \angle CFA $. 在 $ \triangle ABE $ 和 $ \triangle CAF $ 中，$ \left\{ \begin{array} { l } { \angle AEB = \angle CFA }, \\ { \angle ABE = \angle CAF }, \\ { AB = CA }, \end{array} \right. $
∴ $ \triangle ABE \cong \triangle CAF ( AAS ) $.
∴ $ S _ { \triangle ABE } = S _ { \triangle CAF } $.
∴ $ S _ { \triangle CAF } + S _ { \triangle BDE } = S _ { \triangle ABE } + S _ { \triangle BDE } = S _ { \triangle ABD } $.
∵ $ CD = 2BD, \triangle ABC $ 的面积为 21，
∴ 易得 $ S _ { \triangle ABD } = \frac { 1 } { 3 } S _ { \triangle ABC } = 7 $， 即 $ \triangle CAF $ 与 $ \triangle BDE $ 的面积之和是 7.

7. (2024·甘肃改编)如图,在△ABE和△BCD中,AB⊥BC,AB=BC,CD⊥BD,AE⊥BD,则线段AE,DE,CD之间的数量关系是DE + CD = AE.

答案： $ DE + CD = AE $ 解析：
∵ $ AB \perp BC, CD \perp BD, AE \perp BD $，
∴ $ \angle ABC = \angle D = \angle AEB = 90 ^ { \circ } $.
∴ $ \angle ABE + \angle CBD = \angle C + \angle CBD = 90 ^ { \circ } $.
∴ $ \angle ABE = \angle C $. 在 $ \triangle ABE $ 和 $ \triangle BCD $ 中，$ \left\{ \begin{array} { l } { \angle AEB = \angle D }, \\ { \angle ABE = \angle C }, \\ { AB = BC }, \end{array} \right. $
∴ $ \triangle ABE \cong \triangle BCD ( AAS ) $.
∴ $ BE = CD, AE = BD $.
∴ $ DE = BD - BE = AE - CD $.
∴ $ DE + CD = AE $.

8. (1)如图①,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E,F分别是边BC,CD上的点,且∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD.请直接写出线段EF,BE,FD之间的数量关系:__________.
(2)如图②,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是边BC,CD上的点,且∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD,问题(1)中的结论是否仍然成立?请判断并说明理由.
(3)在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是边BC,CD所在直线上的点,且∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD.请直接写出线段EF,BE,FD之间的数量关系.

答案：

(1) $ EF = BE + FD $. 解析：如图①， 延长 $ CB $ 到点 $ G $， 使 $ BG = DF $， 连接 $ AG $.
∵ $ \angle ABE = 90 ^ { \circ } $，
∴ $ \angle ABG = 90 ^ { \circ } $. 在 $ \triangle ABG $ 和 $ \triangle ADF $ 中，$ \left\{ \begin{array} { l } { AB = AD }, \\ { \angle ABG = \angle D = 90 ^ { \circ } }, \\ { BG = DF }, \end{array} \right. $
∴ $ \triangle ABG \cong \triangle ADF ( SAS ) $.
∴ $ AG = AF, \angle 1 = \angle 2 $.
∴ 易得 $ \angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 3 = \frac { 1 } { 2 } \angle BAD = \angle EAF $.
∴ $ \angle EAG = \angle EAF $. 在 $ \triangle AEG $ 和 $ \triangle AEF $ 中，$ \left\{ \begin{array} { l } { AG = AF }, \\ { \angle EAG = \angle EAF }, \\ { AE = AE }, \end{array} \right. $
∴ $ \triangle AEG \cong \triangle AEF ( SAS ) $.
∴ $ EG = EF $.
∵ $ EG = BE + BG $，
∴ $ EF = BE + FD $.
(2) 问题
(1)中的结论 $ EF = BE + FD $ 仍然成立.
理由：如图②， 延长 $ CB $ 到点 $ G $， 使 $ BG = DF $， 连接 $ AG $.
∵ $ \angle ABC + \angle D = 180 ^ { \circ }, \angle ABG + \angle ABC = 180 ^ { \circ } $，
∴ $ \angle ABG = \angle D $.
在 $ \triangle ABG $ 和 $ \triangle ADF $ 中，
$ \left\{ \begin{array} { l } { AB = AD }, \\ { \angle ABG = \angle D }, \\ { BG = DF }, \end{array} \right. $
∴ $ \triangle ABG \cong \triangle ADF ( SAS ) $.
∴ $ AG = AF, \angle 1 = \angle 2 $.
∴ 易得 $ \angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 3 = \frac { 1 } { 2 } \angle BAD = \angle EAF $.
∴ $ \angle EAG = \angle EAF $.
在 $ \triangle AEG $ 和 $ \triangle AEF $ 中，
$ \left\{ \begin{array} { l } { AG = AF }, \\ { \angle EAG = \angle EAF }, \\ { AE = AE }, \end{array} \right. $
∴ $ \triangle AEG \cong \triangle AEF ( SAS ) $.
∴ $ EG = EF $.
∵ $ EG = BE + BG $，
∴ $ EF = BE + FD $.
(3) $ EF = BE + FD $ 或 $ EF = BE - FD $ 或 $ EF = FD - BE $.