《2025年拔尖特训八年级数学上册人教版》

13. 化简：$(-a^{2})^{n-2}\cdot (-a^{n+1})^{3}\cdot a+a^{3n}\cdot [(-a^{2})^{n}+(-a^{n})^{2}]$（n为大于2的正整数）.

答案： 当 $ n $ 为大于 2 的奇数时，原式 $ = - a ^ { 2 n - 4 } \cdot ( - a ^ { 3 n + 3 } ) \cdot a + a ^ { 3 n } \cdot ( - a ^ { 2 n } + a ^ { 2 n } ) = a ^ { 2 n - 4 + 3 n + 3 + 1 } = a ^ { 5 n } $。当 $ n $ 为大于 2 的偶数时，原式 $ = a ^ { 2 n - 4 } \cdot ( - a ^ { 3 n + 3 } ) \cdot a + a ^ { 3 n } \cdot ( a ^ { 2 n } + a ^ { 2 n } ) = - a ^ { 2 n - 4 + 3 n + 3 + 1 } + 2 a ^ { 5 n } = - a ^ { 5 n } + 2 a ^ { 5 n } = a ^ { 5 n } $。综上所述，原式 $ = a ^ { 5 n } $。

14. 已知$2^{a}=5^{b}=10^{c}$，求证：$ab=ac+bc$.

答案： 设 $ 2 ^ { a } = 5 ^ { b } = 10 ^ { c } = k $，则 $ 10 ^ { a b } = 2 ^ { a b } \times 5 ^ { a b } = ( 2 ^ { a } ) ^ { b } \times ( 5 ^ { b } ) ^ { a } = k ^ { b } \cdot k ^ { a } = k ^ { a + b } $，$ 10 ^ { a c + b c } = ( 10 ^ { c } ) ^ { a + b } = k ^ { a + b } $。$ \therefore 10 ^ { a b } = 10 ^ { a c + b c } $。$ \therefore a b = a c + b c $。

15. （2025·沈阳期中）定义：如果$2^{m}=n$（m，n为正数），那么我们把m叫作n的D数，记作$m=D(n)$.
（1）填空：$D(2)=$1，$D(16)=$4.
（2）已知D数有如下运算性质：$D(s\cdot t)=D(s)+D(t);D(\frac {q}{p})=D(q)-D(p)$，其中$q＞p$. 根据运算性质，解决下列问题：
① 若$D(a)=1$，求$D(a^{3})$.
② 若$D(3)=2a-b,D(5)=a+c$，试求$D(15),D(\frac {5}{3}),D(108),D(\frac {27}{20})$的值（用含a，b，c的代数式表示）.
(2) ① $ D ( a ^ { 3 } ) = D ( a ^ { 2 } \cdot a ) = D ( a ^ { 2 } ) + D ( a ) = D ( a \cdot a ) + D ( a ) = D ( a ) + D ( a ) + D ( a ) = 1 + 1 + 1 = 3 $。
② $ D ( 15 ) = D ( 3 × 5 ) = D ( 3 ) + D ( 5 ) = ( 2 a - b ) + ( a + c ) = 3 a - b + c $。$ D \left( \frac { 5 } { 3 } \right) = D ( 5 ) - D ( 3 ) = ( a + c ) - ( 2 a - b ) = - a + b + c $。$ D ( 108 ) = D ( 3 × 3 × 3 × 2 × 2 ) = D ( 3 ) + D ( 3 ) + D ( 3 ) + D ( 2 ) + D ( 2 ) = 3 × D ( 3 ) + 2 × D ( 2 ) = 3 × ( 2 a - b ) + 2 × 1 = 6 a - 3 b + 2 $。$ D \left( \frac { 27 } { 20 } \right) = D ( 27 ) - D ( 20 ) = D ( 3 × 3 × 3 ) - D ( 5 × 2 × 2 ) = D ( 3 ) + D ( 3 ) + D ( 3 ) - [ D ( 5 ) + D ( 2 ) + D ( 2 ) ] = 3 × D ( 3 ) - [ D ( 5 ) + 2 D ( 2 ) ] = 3 × ( 2 a - b ) - ( a + c + 2 × 1 ) = 6 a - 3 b - a - c - 2 = 5 a - 3 b - c - 2 $。

答案：
(1) 1；4。
(2) ① $ D ( a ^ { 3 } ) = D ( a ^ { 2 } \cdot a ) = D ( a ^ { 2 } ) + D ( a ) = D ( a \cdot a ) + D ( a ) = D ( a ) + D ( a ) + D ( a ) = 1 + 1 + 1 = 3 $。
② $ D ( 15 ) = D ( 3 \times 5 ) = D ( 3 ) + D ( 5 ) = ( 2 a - b ) + ( a + c ) = 3 a - b + c $。$ D \left( \frac { 5 } { 3 } \right) = D ( 5 ) - D ( 3 ) = ( a + c ) - ( 2 a - b ) = - a + b + c $。$ D ( 108 ) = D ( 3 \times 3 \times 3 \times 2 \times 2 ) = D ( 3 ) + D ( 3 ) + D ( 3 ) + D ( 2 ) + D ( 2 ) = 3 \times D ( 3 ) + 2 \times D ( 2 ) = 3 \times ( 2 a - b ) + 2 \times 1 = 6 a - 3 b + 2 $。$ D \left( \frac { 27 } { 20 } \right) = D ( 27 ) - D ( 20 ) = D ( 3 \times 3 \times 3 ) - D ( 5 \times 2 \times 2 ) = D ( 3 ) + D ( 3 ) + D ( 3 ) - [ D ( 5 ) + D ( 2 ) + D ( 2 ) ] = 3 \times D ( 3 ) - [ D ( 5 ) + 2 D ( 2 ) ] = 3 \times ( 2 a - b ) - ( a + c + 2 \times 1 ) = 6 a - 3 b - a - c - 2 = 5 a - 3 b - c - 2 $。