《2025年拔尖特训八年级数学上册人教版》

6. 分解因式:
(1)$-mn + m^{2}=$$m(m-n)$.
(2)$8a^{4}b^{3}+28ab^{2}c=$$4ab^{2}(2a^{3}b+7c)$.
(3)(2025·长沙段考)$\frac{1}{4}m^{2}-\frac{1}{3}mn+\frac{1}{9}n^{2}=$$(\frac {1}{2}m-\frac {1}{3}n)^{2}$.

答案：
(1)$m(m-n)$
(2)$4ab^{2}(2a^{3}b+7c)$
(3)$(\frac {1}{2}m-\frac {1}{3}n)^{2}$

7. 若$|x + y - 5|+(x - y + 1)^{2}=0$,则$x^{2}-y^{2}=$-5.

答案： -5

8. 已知$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab - 3b - 2c + 4 = 0$,则$a + b + c$的值为4.

答案： 4 解析:$\because a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-3b-2c+4=a^{2}-ab+\frac {1}{4}b^{2}+\frac {3}{4}(b^{2}-4b+4)+c^{2}-2c+1=(a-\frac {1}{2}b)^{2}+\frac {3}{4}(b-2)^{2}+(c-1)^{2}=0$,
$\therefore a-\frac {1}{2}b=0,b-2=0,c-1=0$.
$\therefore a=1,b=2,c=1.\therefore a+b+c=4$.

9. 将下列各式分解因式:
(1)$x(x - y)+y(y - x)$.
(2)$(x + y)(x + y - 1)+\frac{1}{4}$.

答案：
(1)原式$=x(x-y)-y(x-y)=(x-y)(x-y)=(x-y)^{2}$.
(2)原式$=(x+y)[(x+y)-1]+\frac {1}{4}=(x+y)^{2}-(x+y)+\frac {1}{4}=(x+y-\frac {1}{2})^{2}$.

10. (2024·宁波期中)已知$a - b = 7,ab=-12$.求:
(1)$a^{2}b - ab^{2}$的值.
(2)$a^{2}+b^{2}$的值.
(3)$a + b$的值.

答案：
(1)$\because a-b=7,ab=-12$,
$\therefore a^{2}b-ab^{2}=ab(a-b)=-12×7=-84$.
(2)$\because a-b=7,ab=-12$,
$\therefore a^{2}+b^{2}=(a-b)^{2}+2ab=7^{2}+2×(-12)=49-24=25$.
(3)$\because a^{2}+b^{2}=25,ab=-12$,
$\therefore (a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab=25-24=1$.
$\therefore a+b=\pm 1$.

11. (2024·邯郸一模)嘉嘉和琪琪玩纸片拼图游戏,他们利用如图①所示的三种类型的纸片可以拼出一些图形来解释某些等式.例如,由图②,我们可以得到$(a + 2b)(a + b)=a^{2}+3ab + 2b^{2}$.
(1)用$1$张边长为$a$的正方形纸片,$6$张长、宽分别为$b,a$的长方形纸片,$9$张边长为$b$的正方形纸片,拼成一个正方形,则这个正方形的边长为____$a+3b$.
(2)琪琪将$5$张长为$b$、宽为$a$的长方形纸片按照图③所示的方式不重叠地放在大长方形$ABCD$内;对大长方形中未被覆盖的两个部分,设左上方区域的面积为$S_{1}$,右下方区域的面积为$S_{2}$.当$BC$的长变化时,$S_{2}-S_{1}$的值始终保持不变,求$a$与$b$的数量关系.设$BC=x$,则$S_{1}=b(x-3a)$,$S_{2}=2a(x-b)$.
$\therefore S_{2}-S_{1}=2a(x-b)-b(x-3a)=(2a-b)x+ab$.
当$2a-b=0$时,$S_{2}-S_{1}$的值始终不变.
$\therefore 2a=b$.

答案：
(1)$a+3b$.
(2)设$BC=x$,则$S_{1}=b(x-3a)$,$S_{2}=2a(x-b)$.
$\therefore S_{2}-S_{1}=2a(x-b)-b(x-3a)=(2a-b)x+ab$.
当$2a-b=0$时,$S_{2}-S_{1}$的值始终不变.
$\therefore 2a=b$.