《2025年拔尖特训八年级数学上册人教版》

6. 如图，将一张四边形纸片$ABCD$沿$MN$折叠，使点$A$，$D$分别落在点$A_1$，$D_1$处。若$∠1+∠2=130^{\circ}$，则$∠B+∠C$的度数为（A）
A. $115^{\circ}$
B. $130^{\circ}$
C. $135^{\circ}$
D. $150^{\circ}$

答案： A

7. 如图，在$\triangle ABC$中，点$D$，$E$分别在边$AB$，$AC$上。如果$∠A=40^{\circ}$，那么$∠1+∠2$的度数为$220^{\circ}$。

答案： $220^{\circ}$

8. 如图，在$\triangle ABC$中，$∠ABC$和$∠ACB$的三等分线分别交于点$E$，$D$，$F$，$G$。若$∠BFC=132^{\circ}$，$∠BGC=118^{\circ}$，求$∠A$的度数。

答案：
∵ $\angle ABC$和$\angle ACB$的三等分线分别交于点$E$，$D$，$F$，$G$，
∴ $\angle CBG = \angle EBG = \angle ABE = \frac{1}{3}\angle ABC$，$\angle BCF = \angle ECF = \angle ACE = \frac{1}{3}\angle ACB$。
在$\triangle BCG$中，$\angle BGC = 118^{\circ}$，
∴ $\angle CBG + \angle BCE = 180^{\circ} - \angle BGC = 62^{\circ}$。
∴ $\angle CBG + 2\angle BCF = 62^{\circ}$①。
在$\triangle BCF$中，$\angle BFC = 132^{\circ}$，
∴ $\angle BCF + \angle CBF = 180^{\circ} - \angle BFC = 48^{\circ}$。
∴ $\angle BCF + 2\angle CBG = 48^{\circ}$②。
① + ②，得$3\angle BCF + 3\angle CBG = 110^{\circ}$。
∴ $\angle A = 180^{\circ} - (3\angle BCF + 3\angle CBG) = 70^{\circ}$。

9. 易错题 在$\triangle ABC$中，$∠ABC=∠C$，$BD$是$AC$边上的高，$∠ABD=30^{\circ}$，则$∠C$的度数为（D）
A. $30^{\circ}$
B. $90^{\circ}$
C. $30^{\circ}$或$90^{\circ}$
D. $30^{\circ}$或$60^{\circ}$

答案： D
易错警示
三角形一边上的高的两解性
如果条件是三角形及一边上的高，且题目未给出图形，那么极有可能分为锐角三角形与钝角三角形两种情形。

10. 在$\triangle ABC$中，$∠BAC=90^{\circ}$，$D$是$BC$上一点，将$\triangle ABD$沿$AD$翻折后得到$\triangle AED$，边$AE$交射线$BC$于点$F$。
（1）如图①，当$AE⊥BC$时，求证：$DE// AC$。
（2）若$∠C=2∠B$，$∠BAD=x^{\circ}(0＜x＜60)$。
① 如图②，当$DE⊥BC$时，求$x$的值。
② 是否存在$x$的值，使得$\triangle DEF$中有两个角相等？若存在，求出$x$的值；若不存在，请说明理由。

答案：
(1)
∵ $\angle BAC = 90^{\circ}$，$AE \perp BC$，
∴ $\angle CAF + \angle BAF = 90^{\circ}$，$\angle B + \angle BAF = 90^{\circ}$。
∴ $\angle CAF = \angle B$。
由折叠的性质可知，$\angle B = \angle E$，
∴ $\angle CAF = \angle E$。
∴ $DE // AC$。
(2) ①
∵ $\angle C = 2\angle B$，$\angle C + \angle B = 90^{\circ}$，
∴ 易得$\angle C = 60^{\circ}$，$\angle B = 30^{\circ}$。
∵ $DE \perp BC$，$\angle E = \angle B = 30^{\circ}$，
∴ $\angle BFE = 60^{\circ}$。
∵ $\angle BFE = \angle B + \angle BAF$，
∴ $\angle BAF = 30^{\circ}$。
由折叠的性质可知，$\angle BAD = x^{\circ} = \frac{1}{2}\angle BAF = 15^{\circ}$，
∴ $x = 15$。
② 存在。
∵ $\angle BAD = x^{\circ}$，
∴ 易得$\angle FDE = (120 - 2x)^{\circ}$，$\angle DFE = (2x + 30)^{\circ}$。
当$\angle FDE = \angle DFE$时，$120 - 2x = 2x + 30$，解得$x = 22.5$。
当$\angle DFE = \angle E = 30^{\circ}$时，$2x + 30 = 30$，解得$x = 0$。
∵ $0 ＜ x ＜ 60$，
∴ 不合题意，舍去。
当$\angle FDE = \angle E = 30^{\circ}$时，$120 - 2x = 30$，解得$x = 45$。
综上所述，存在$x = 22.5$或$45$，使得$\triangle DEF$中有两个角相等。