《2025年拔尖特训八年级数学上册人教版》

1. (2023·荆门期末)如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,点D,E分别在边AB,AC上,$DB=DE=AE$,$BE=BC$,则$∠BAC$的度数为 (D)

A.$60^{\circ }$
B.$75^{\circ }$
C.$30^{\circ }$
D.$45^{\circ }$

答案： D

2. 如图,在等腰三角形ABC中,$AB=AC$,点D在边AB上,且$AD=CD$,$BC=BD$,则$∠A$的度数为$(\frac {180}{7})^{\circ }$.

答案： $(\frac {180}{7})^{\circ }$

3. (2025·合肥段考)已知等腰三角形的周长为24,一腰上的中线把三角形分为两个三角形,两个三角形的周长的差是3,求等腰三角形各边的长.

答案：
如图，在等腰三角形 ABC 中，$AB=AC$，D 为 AC 的中点。
设$AB=AC=x$。
∵ D 为 AC 的中点，
$\therefore AD=CD=\frac {1}{2}x$。
∵ 等腰三角形 ABC 的周长为 24，
$\therefore BC=24-(AB+AC)=24-2x$。
① 当$\triangle ABD$的周长大于$\triangle BCD$的周长时，
$\because AB+AD+BD-(BC+CD+BD)=3$，
$\therefore AB-BC=3$，即$x-(24-2x)=3$，解得$x=9$，此时$24-2x=6$，9，9，6 能够组成三角形，符合题意。
② 当$\triangle BCD$的周长大于$\triangle ABD$的周长时，
$\because BC+CD+BD-(AB+AD+BD)=3$，
$\therefore BC-AB=3$，即$24-2x-x=3$，解得$x=7$，此时$24-2x=10$，7，7，10 能够组成三角形，符合题意。
综上所述，这个等腰三角形的腰长为 9，底边长为 6 或腰长为 7，底边长为 10。

4. 如图,在一次夏令营活动中,小明从营地A出发,要到营地A的北偏东$60^{\circ }$方向的C地,他先沿正东方向走了320m到达B地,再沿北偏东$30^{\circ }$方向走,恰好能到达C地,则B,C两地相距320m.

答案： 320

5. (1)如图①,D为$\triangle ABC$外一点,若AC平分$∠BAD$,$CE⊥AB$于点E,$∠B+∠ADC=180^{\circ }$. 求证:$BC=CD$.
(2)如图②,若$∠ACB=90^{\circ }$,$AC=BC$,F是AC上一点,$AD⊥BF$交BF的延长线于点D,且BF是$∠CBA$的平分线. 求证:$2AD=BF$.

答案：

(1) 如图①，在 AB 上取点 G，使$AG=AD$，连接 CG。
∵ AC 平分$∠BAD$，
$\therefore ∠DAC=∠GAC$。
$\because AD=AG$，$∠DAC=∠GAC$，$AC=AC$，
$\therefore \triangle ADC≌\triangle AGC$。
$\therefore DC=GC$，$∠ADC=∠AGC$。
又$\because ∠B+∠ADC=180^{\circ }$，$∠CGE+∠AGC=180^{\circ }$，
$\therefore ∠B=∠CGE$。
$\therefore BC=GC$。
又$\because DC=GC$，
$\therefore BC=CD$。
(2) 如图②，分别延长 AD，BC 交于点 H。
∵ 由题意，知 BD 平分$∠CBA$，
$\therefore ∠DBC=∠ABD$。
∵ AD⊥BF 交 BF 的延长线于点 D，
$\therefore ∠ADB=∠HDB=90^{\circ }$。
$\because ∠ADB=∠HDB$，$BD=BD$，$∠DBA=∠DBH$，
$\therefore \triangle ADB≌\triangle HDB$。
$\therefore ∠DAB=∠DHB$，$AB=HB$，$AD=HD$。
$\therefore \triangle ABH$是等腰三角形，$2AD=AH$。
$\because ∠ACB=90^{\circ }$，$AC=BC$，
$\therefore ∠ABC=∠CAB=45^{\circ }$，$∠ACH=90^{\circ }$。
$\therefore ∠DAB=\frac {1}{2}×(180^{\circ }-∠ABC)=67.5^{\circ }$，$∠CBD=∠ABD=22.5^{\circ }$。
$\therefore ∠HAC=67.5^{\circ }-45^{\circ }=22.5^{\circ }=∠CBD$。
$\because ∠HAC=∠FBC=22.5^{\circ }$，$AC=BC$，$∠ACH=∠BCF$，
$\therefore \triangle ACH≌\triangle BCF$。
$\therefore AH=BF$。
又$\because 2AD=AH$，
$\therefore 2AD=BF$。