《2025年拔尖特训八年级数学上册人教版》

9. 如图，牧民星期天先从点$A$处赶了几只羊到草地$l_{1}$上吃草，然后赶羊到小河$l_{2}$上饮水，之后回到点$B$处的家。假设牧民赶羊走的都是直路，请你为他设计一条最短的路线，标明羊吃草与羊饮水的位置。

答案：
如图,A→C→D→B是他走的最短路线,点C,D分别为羊吃草、羊饮水处.
　　

10. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$AC=6$，$BC=8$，$AB=10$，$AD$是$\angle BAC$的平分线。若$P$，$Q$分别是$AD$和$AC$上的动点，求$PC+PQ$的最小值。

答案：
如图,过点C作CM⊥AB,交AB 于点M,交AD于点P,过点P作PQ⊥AC于点Q.
∵AD是∠BAC的平分线,
∴PQ=PM,此时PC+PQ有最小值,即为CM的长.
∵∠ACB=90°,CM⊥AB,
∴$\frac{1}{2}$AB·CM=$\frac{1}{2}$AC·BC.又
∵AC=6,BC=8,AB=10,
∴CM=$\frac{AC·BC}{AB}=\frac{24}{5}$,即PC+PQ 的最小值为$\frac{24}{5}$.
　

11. 如图，在平面直角坐标系中，某公路(可视为$x$轴)的同一侧有$A$，$B$，$C$三个村庄，要在公路边建一货栈$D$，向$A$，$B$，$C$三个村庄送货，路线是$D\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow D$或$D\rightarrow C\rightarrow B\rightarrow A\rightarrow D$。试问在公路边是否存在一点$D$，使送货路线之和最短？若存在，请在图中画出点$D$所在的位置，并简要说明作法；若不存在，请说明理由。

答案：
存在.如图,作点A关于x轴的对称点A',连接A'C,则A'C与x轴的交点即为D.
　　

12. 如图，护城河在$CC'$处直角转弯，河宽相等，从点$A$到达点$B$需经过两座桥(桥宽不计)。设护城河及两座桥都是东西或南北方向的，则桥架在何处，才能使从点$A$经过两座桥到点$B$的距离最短？请在图中画出两座桥，并写出画图过程。

答案：
如图,分别过点A,B作河岸的一边CM,CN的垂线,并截取AF=BG=河宽,连接FG分别与河岸的另一边C'M',C'N'相交于点D',E',过点D'作D'D⊥C'M'交CM于点D,过点E'作E'E⊥C'N'交CN于点E,连接AD,BE.此时从点A到点B的路径中,路径A→D→D'→E'→E→B最短.
∴桥架在DD',EE'的位置.