《2025年拔尖特训八年级数学上册人教版》

（1）用4张长为a、宽为b的长方形硬纸片拼成如图所示的图形，根据图形的面积关系，我们可以写出一个恒等式：$ ( a + b ) ^ { 2 } - $（$a - b$）$ ^ { 2 } = $$4ab$.
（2）根据（1）中的等量关系，解决下列问题：
① 若 $ m + n = 8 $，$ m n = 12 $，求 $ m - n $ 的值.
② 已知 $ ( 2 m + n ) ^ { 2 } = 13 $，$ ( 2 m - n ) ^ { 2 } = 5 $，请利用上述等式求mn的值.
① ∵ $ m + n = 8 $，$ m n = 12 $，
∴ $ ( m - n ) ^ { 2 } = ( m + n ) ^ { 2 } - 4 m n = 8 ^ { 2 } - 4 × 12 = 16 $。
∴ $ m - n = \pm 4 $。
② ∵ $ ( 2 m + n ) ^ { 2 } = 13 $，$ ( 2 m - n ) ^ { 2 } = 5 $，
∴ $ ( 2 m + n ) ^ { 2 } - ( 2 m - n ) ^ { 2 } = 4 × 2 m \cdot n = 8 m n = 13 - 5 = 8 $。
∴ $ m n = 1 $。

答案： 典例4　
(1) $ a - b $；$ 4 a b $。
(2) ①
∵ $ m + n = 8 $，$ m n = 12 $，
∴ $ ( m - n ) ^ { 2 } = ( m + n ) ^ { 2 } - 4 m n = 8 ^ { 2 } - 4 \times 12 = 16 $。
∴ $ m - n = \pm 4 $。
②
∵ $ ( 2 m + n ) ^ { 2 } = 13 $，$ ( 2 m - n ) ^ { 2 } = 5 $，
∴ $ ( 2 m + n ) ^ { 2 } - ( 2 m - n ) ^ { 2 } = 4 \times 2 m \cdot n = 8 m n = 13 - 5 = 8 $。
∴ $ m n = 1 $。

[变式]如图①所示为一个长是4a、宽是b的长方形，沿图中虚线用剪刀将其平均分成四个小长方形，然后用这四个小长方形拼成如图②所示的正方形.
（1）请由图②直接写出 $ ( b + a ) ^ { 2 } $，$ ( b - a ) ^ { 2 } $，ab之间的一个等量关系式.
（2）根据（1）中的结论，若 $ 3 x + 4 y = 10 $，$ x y = 2 $，求 $ 3 x - 4 y $ 的值.
（3）如图③，正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为x，y，若 $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 58 $，$ B E = 4 $，求图中涂色部分的面积.

答案： [变式]　
(1) $ ( b + a ) ^ { 2 } - ( b - a ) ^ { 2 } = 4 a b $。

(2) 根据
(1)中的结论，得 $ ( 3 x + 4 y ) ^ { 2 } - ( 3 x - 4 y ) ^ { 2 } = 48 x y $。

∵ $ 3 x + 4 y = 10 $，$ x y = 2 $，

∴ $ 10 ^ { 2 } - ( 3 x - 4 y ) ^ { 2 } = 48 \times 2 $。

∴ $ 3 x - 4 y = \pm 2 $。

(3)
∵ 四边形 $ A B C D $ 和四边形 $ A E F G $ 为正方形，且边长分别为 $ x $，$ y $，

∴ $ C D = A B = A D = B C = x $，$ A G = A E = E F = G F = y $。

∴ $ B E = x - y $，$ D G = x - y $。

∵ $ B E = 4 $，

∴ $ B E = D G = x - y = 4 $。

∴ $ ( x - y ) ^ { 2 } = 16 $，即 $ x ^ { 2 } - 2 x y + y ^ { 2 } = 16 $。

∵ $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 58 $，

∴ $ 2 x y = 42 $。

∴ $ x ^ { 2 } + 2 x y + y ^ { 2 } = 42 + 58 = 100 $。

∴ $ ( x + y ) ^ { 2 } = 100 $。

∵ $ x ＞ 0 $，$ y ＞ 0 $，

∴ $ x + y ＞ 0 $。

∴ $ x + y = 10 $。

∵ $ S _ { \triangle D C F } = \frac { 1 } { 2 } D G \cdot C D = \frac { 1 } { 2 } \times 4 x = 2 x $，$ S _ { \triangle B E F } = \frac { 1 } { 2 } B E \cdot E F = \frac { 1 } { 2 } \times 4 y = 2 y $，

∴ $ S _ { 涂色 } = S _ { \triangle D C F } + S _ { \triangle B E F } = 2 x + 2 y = 2 ( x + y ) = 20 $。

1. 已知 $ x ^ { a } = m $，$ x ^ { b } = n $，则 $ x ^ { 3 a + 2 b } $ 的结果为（A）
A. $ m ^ { 3 } n ^ { 2 } $
B. $ \frac { m ^ { 3 } } { n ^ { 2 } } $
C. $ 3 m + 2 n $
D. $ \frac { 3 m } { 2 n } $

答案： 1. A

2. 某同学在计算 - 3x加上一个多项式时，错将加法算成了乘法，得到的答案是 $ 3 x ^ { 3 } - 3 x ^ { 2 } + 3 x $，则正确的计算结果是（A）
A. $ - x ^ { 2 } - 2 x - 1 $
B. $ x ^ { 2 } + 2 x - 1 $
C. $ - x ^ { 2 } + 4 x - 1 $
D. $ x ^ { 2 } - 4 x + 1 $

答案： 2. A

3. （2025·绥化明水段考）有下列四个算式：
① $ ( 4 x ^ { 2 } y ^ { 4 } ) ÷ ( \frac { 1 } { 4 } x y ) = x y ^ { 3 } $；② $ ( 16 a ^ { 6 } b ^ { 4 } c ) ÷ ( 8 a ^ { 3 } b ^ { 2 } ) = 2 a ^ { 2 } b ^ { 2 } c $；③ $ ( 9 x ^ { 8 } y ^ { 2 } ) ÷ ( 3 x ^ { 3 } y ) = 3 x ^ { 5 } y $；④ $ ( 12 m ^ { 3 } + 8 m ^ { 2 } - 4 m ) ÷ ( - 2 m ) = - 6 m ^ { 2 } + 4 m + 2 $.其中，正确的有（B）
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个

答案： 3. B

4. （2025·厦门思明段考）已知 $ 10 ^ { a + 2 b + 5 } = 1000 $，则 $ 2 a + 4 b $ 的值为（A）
A. - 4
B. 4
C. - 5
D. 5

答案： 4. A

5. 设 $ a = x - 2024 $，$ b = x - 2026 $，$ c = x - 2025 $.若 $ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = 56 $，则 $ c ^ { 2 } $ 的值为（A）
A. 27
B. 24
C. 22
D. 20

答案： 5. A 解析：
∵ $ a = x - 2024 $，$ b = x - 2026 $，$ c = x - 2025 $，
∴ $ a = c + 1 $，$ b = c - 1 $。
∵ $ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = 56 $，
∴ $ ( c + 1 ) ^ { 2 } + ( c - 1 ) ^ { 2 } = 56 $。
∴ $ c ^ { 2 } = 27 $。

6. 若 $ ( 5 - 2 x ) ^ { x + 1 } = 1 $，则 $ x = $-1 或 2 或 3.

答案： 6. -1 或 2 或 3

7. 已知 $ ( x + m ) ( 3 x - 2 ) = 3 x ^ { 2 } - n x - 4 $，则 $ m ^ { 2 } - n ^ { 2 } $ 的值为-12.

答案： 7. -12