《2025年拔尖特训八年级数学上册人教版》

典例4 如图，∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将一个直角的顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D. 求证：PC=PD.

答案：
如图，过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F。
∴∠PEC = ∠PFD = 90°。
∵OM是∠AOB的平分线，
∴PE = PF。
∵∠AOB = 90°，∠CPD = 90°，
∴易得∠PCE + ∠PDO = 360° - 90° - 90° = 180°。
∵∠PDO + ∠PDF = 180°，
∴∠PCE = ∠PDF。
在△PCE和△PDF中，
$\begin{cases}\angle PCE = \angle PDF\\\angle PEC = \angle PFD\\PE = PF\end{cases}$
∴△PCE≌△PDF(AAS)。
∴PC = PD。

[变式] 我们把至少有一组邻边相等的四边形定义为“等邻边四边形”，把对角互补的“等邻边四边形”定义为“完美等邻边四边形”.
(1) 如图①，在“完美等邻边四边形”ABCD中，AD=CD，∠ABC+∠ADC=180°. 请你结合图形，写出“完美等邻边四边形”ABCD的一条性质.
(2) 如图②，在四边形ABCD中，若∠ABC+∠ADC=180°，连接BD，BD平分∠ABC，求证：四边形ABCD是“完美等邻边四边形”.

答案：

(1)答案不唯一，如∠BAD + ∠BCD = 180°。
(2)如图，过点D作DM⊥BC，交BC的延长线于点M，DN⊥AB于点N。
∵BD平分∠ABC，DM⊥BC，DN⊥AB，
∴DM = DN，∠DMB = ∠DNB = ∠AND = 90°。
∴易得∠ABC + ∠MDN = 360° - 90° - 90° = 180°。
∵∠ABC + ∠ADC = 180°，
∴∠ADC = ∠MDN。
∴∠ADC - ∠CDN = ∠MDN - ∠CDN，即∠ADN = ∠CDM。
在△ADN和△CDM中，
$\begin{cases}\angle ADN = \angle CDM\\DN = DM\\\angle AND = \angle CMD\end{cases}$
∴△ADN≌△CDM(ASA)。
∴AD = CD。
∴四边形ABCD是“等邻边四边形”。
又
∵∠ABC + ∠ADC = 180°，
∴“等邻边四边形”ABCD是“完美等邻边四边形”。

1. 下列条件中，不能判定△ABC≌△DEF的是（D）
A. AB=DE，∠B=∠E，BC=EF
B. ∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E
C. ∠B=∠E，∠C=∠F，AC=DF
D. BC=EF，AC=DF，∠A=∠D

答案： D

2. 如图，BD=BC，BE=CA，∠DBE=∠C=62°，∠BDE=75°，则∠AFD的度数为（B）

A. 30°
B. 32°
C. 33°
D. 35°

答案： B

3. 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，∠DAC+∠BCA=180°，∠BAC+∠ACD=90°，且四边形ABCD的面积是18，则CD的长为（ ）

A. $\frac{9}{2}$
B. 6
C. $\frac{36}{5}$
D. 9

答案：
B　解析：如图，延长BC至点E，使CE = AD，连接AE。
∵∠DAC + ∠BCA = 180°，∠ECA + ∠BCA = 180°，
∴∠DAC = ∠ECA。
在△ADC和△CEA中，$\begin{cases}AC = CA\\\angle DAC = \angle ECA\\AD = CE\end{cases}$
∴△ADC≌△CEA(SAS)。
∴∠ACD = ∠CAE，CD = AE。
∵∠BAC + ∠ACD = 90°，
∴∠BAC + ∠CAE = 90°。
∴∠BAE = 90°。
∵AB = CD，CD = AE，
∴AB = AE。
∴△ABE是等腰直角三角形。
∵△ADC≌△CEA，
∴$S_{\triangle ADC}=S_{\triangle CEA}$。
∴$S_{四边形ABCD}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ADC}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle CEA}=S_{\triangle BAE}$。
∴$\frac{1}{2}AB\cdot AE = 18$。
∴AB = AE = 6。
∴CD = 6。

4. 如图，△CBE≌△DAE，连接AB，∠ABE=65°，∠BAD=30°，则∠CBE的度数为35°.

答案： 35°