《2025年拔尖特训八年级数学上册人教版》

典例1 在$\triangle ABC$中，有两边长分别是2和5，且$\triangle ABC$的第三边的长是偶数，则此三角形的周长为（D）
A. 11
B. 12
C. 13
D. 11或13

答案： 典例1　D　解析:设第三边的长为$x$.$\therefore 5 - 2 ＜ x ＜ 5 + 2$,即$3 ＜ x ＜ 7$.$\because \triangle ABC$的第三边的长是偶数,$\therefore x = 4$或$x = 6$.$\therefore$此三角形的周长为$2 + 5 + 4 = 11$或$2 + 5 + 6 = 13$.

[变式](2023·宁波期末)现有长度分别是30 cm和25 cm的两根木棒，如果不改变木棒的长度，要将木棒首尾顺次相接钉成一个三角形木架，那么下列长度的木棒中，不能选取的是（）
A. 10 cm的木棒
B. 30 cm的木棒
C. 50 cm的木棒
D. 70 cm的木棒

答案： [变式]　D

典例2 (2024·济南天桥期中)如图，在$\triangle ABC$中，$\angle B=60^{\circ}$，$\angle C=30^{\circ}$，$AD$和$AE$分别是$\triangle ABC$的高和角平分线，求$\angle DAE$的度数。

答案： 典例2　$\because$在$\triangle ABC$中,$\angle B = 60^{\circ}$,$\angle C = 30^{\circ}$,$\therefore \angle BAC = 180^{\circ} - \angle B - \angle C = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 60^{\circ} = 90^{\circ}$.$\because AE$是$\triangle ABC$的角平分线,$\therefore \angle BAE = \frac{1}{2}\angle BAC = 45^{\circ}$.$\because AD$是$\triangle ABC$的高,$\therefore \angle ADB = 90^{\circ}$.$\therefore$在$\triangle ADB$中,$\angle BAD = 90^{\circ} - \angle B = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$.$\therefore \angle DAE = \angle BAE - \angle BAD = 45^{\circ} - 30^{\circ} = 15^{\circ}$.

[变式]如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$CD$为$AB$边上的高，$BE$平分$\angle ABC$，分别交$CD$，$AC$于点$F$，$E$，求证：$\angle CEF=\angle CFE$。

答案：
[变式]　如图,$\because \angle ACB = 90^{\circ}$,$\therefore \angle 1 + \angle 3 = 90^{\circ}$.$\because CD \perp AB$,$\therefore \angle 2 + \angle 4 = 90^{\circ}$.又$\because BE$平分$\angle ABC$,$\therefore \angle 1 = \angle 2$.$\therefore \angle 3 = \angle 4$.$\because \angle 4 = \angle 5$,$\therefore \angle 3 = \angle 5$,即$\angle CEF = \angle CFE$.