《2025年拔尖特训八年级数学上册人教版》

9. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$\angle B=30^{\circ}$，$AC=2$，D为边BC上的一动点，EF垂直平分AD，分别交AC，AB于点E，F，则BF长的最大值为______.

答案：
$\frac{8}{3}$　解析:如图，过点F作FH⊥BC于点H，连接DF.
∵EF垂直平分AD，
∴AF = DF.设AF = DF = x.
∵∠B = 30°，
∴在Rt△ABC中，AB = 2AC = 4.
∴BF = AB - AF = 4 - x.
∴在Rt△FHB中，FH = $\frac{1}{2}$BF = 2 - $\frac{1}{2}$x.
∵DF≥FH，
∴x≥2 - $\frac{1}{2}$x，解得x≥$\frac{4}{3}$.
∴AF长的最小值为$\frac{4}{3}$.
∴BF长的最大值为4 - $\frac{4}{3}$ = $\frac{8}{3}$.

10. 如图，$\triangle ABC$是等边三角形，P是$\triangle ABC$的角平分线BD上的一点，$PE\perp AB$于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为Q.
(1)若$BQ=2$，求PE的长.
(2)连接PF，EF，试判断$\triangle EFP$的形状，并说明理由.

答案：
(1)
∵△ABC是等边三角形，BD是∠ABC的平分线，点P在BD上，
∴易得∠EBP = ∠PBC = 30°.
∵PE⊥AB于点E，
∴∠BEP = 90°.
∴PE = $\frac{1}{2}$BP.
∵QF为线段BP的垂直平分线，
∴BP = 2BQ = 2×2 = 4.
∴PE = $\frac{1}{2}$×4 = 2.
(2)△EFP是直角三角形.
理由:
∵△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，
∴∠ABC = 60°，∠ABP = ∠CBD = 30°.
∵PE⊥AB，
∴∠PEB = 90°.
∴∠BPE = 60°.
∵QF垂直平分线段BP，
∴FB = FP.
∴∠FBQ = ∠FPQ = 30°.
∴∠EPF = ∠BPE + ∠FPQ = 90°.
∴△EFP是直角三角形.

11. (2024·平顶山段考)在$Rt\triangle ABC$中，$\angle A=90^{\circ}$，有一个锐角为$60^{\circ}$.若点P在直线AC上(不与点A，C重合)，且$\angle ABP=30^{\circ}$，$AP=1$，则CP的长为（D）
A. 2
B. 4
C. 1或2或4
D. 2或4

答案： D

12. 如图①，在平面直角坐标系中，A为x轴的负半轴上的一点，B为y轴的正半轴上的一点，$OA=2$，$AB=2OA$.
(1)作点A关于y轴的对称点E，并写出点E的坐标.
(2)求$\angle BAO$的度数.
(3)如图②，P是射线OA上任意一点，连接PB，以PB为边向上作等边三角形PBD，DA的延长线交y轴于点Q，求AQ的长.

答案：

(1)如图①，点E即为所求.
∵点A，E关于y轴对称，
∴OA = OE = 2.
∴E(2, 0).
(2)如图①，连接BE.
∵OA = OE，BO⊥AE，
∴BA = BE.
∵AB = 2OA = AE，
∴AB = BE = AE.
∴△ABE是等边三角形.
∴∠BAO = 60°.
(3)如图②，作点A关于y轴的对称点E，连接BE，设AD交PB于点J.
∵易知△PBD，△ABE都是等边三角形，
∴AB = EB，BP = BD，∠PBD = ∠ABE = 60°.
∵∠ABD = ∠PBD + ∠ABP，∠EBP = ∠ABE + ∠ABP，
∴∠ABD = ∠EBP.
在△ABD和△EBP中，
$\begin{cases}AB = EB\\\angle ABD = \angle EBP\\BD = BP\end{cases}$
∴△ABD ≌ △EBP.
∴∠ADB = ∠EPB.
∵∠AJP = ∠DJB，
∴∠PAJ = ∠DBJ = 60°.
∴∠OAQ = ∠PAJ = 60°.
∵∠AOQ = 90°，
∴∠AQO = 30°.
∴AQ = 2AO = 4.