《2025年拔尖特训八年级数学上册人教版》

9. (2024·西安期中)如图,O为$\triangle ABC$的三条角平分线的交点,$∠BOC=120^{\circ }$,则$∠BAC=$60$^{\circ }$.

答案： 60 解析：由已知，可得 $ \angle B O C = 180 ^ { \circ } - \frac { 1 } { 2 } ( \angle A B C + \angle A C B ) = 120 ^ { \circ } $，
$ \therefore \angle A B C + \angle A C B = 120 ^ { \circ } $. $ \therefore \angle B A C = 180 ^ { \circ } - ( \angle A B C + \angle A C B ) = 60 ^ { \circ } $.

10. 如图,BI 平分$∠ABC$,CI 平分$∠ACB$,把$\triangle ABC$折叠,使点 A 与点 I 重合. 若$∠1+∠2=132^{\circ }$,则$∠BIC$的度数为$123^{\circ }$.

答案： $ 123 ^ { \circ } $

11. 将一把三角尺($\triangle MPN$,其中$∠MPN=$$90^{\circ }$)放置在$\triangle ABC$上(点 P 在$\triangle ABC$内),如图①,三角尺的两边 PM,PN 恰好经过点 B 和点 C. 现进行如下探究：$∠ABP$与$∠ACP$之间是否存在某种数量关系?
(1)若$∠A=50^{\circ }$,则$∠PBC+∠PCB=$$90^{\circ }$;$∠ABP+∠ACP=$$40^{\circ }$.
(2)猜想$∠ABP,∠ACP,∠A$之间的数量关系,并说明理由.
$∠ABP + ∠ACP = 90^{\circ} - ∠A$.
理由：$∵ (∠PBC + ∠PCB) + (∠ABP + ∠ACP) + ∠A = 180^{\circ}$，
$∴ 90^{\circ} + (∠ABP + ∠ACP) + ∠A = 180^{\circ}$.
$∴ ∠ABP + ∠ACP + ∠A = 90^{\circ}$.
$∴ ∠ABP + ∠ACP = 90^{\circ} - ∠A$.
(3)如图②,改变三角尺的位置,使点 P 在$\triangle ABC$外,三角尺的两边 PM,PN 仍恰好经过点 B 和点 C,猜想$∠ABP,∠ACP,$$∠A$之间的数量关系,并说明理由.
$∠ACP - ∠ABP = 90^{\circ} - ∠A$.
理由：设 $AB$ 交 $PC$ 于点 $O$.
$∵ ∠AOC = ∠POB$，
$∴ ∠ACO + ∠A = ∠P + ∠PBO$，即 $∠ACP + ∠A = 90^{\circ} + ∠ABP$.
$∴ ∠ACP - ∠ABP = 90^{\circ} - ∠A$.

答案：
(1) $ 90 ^ { \circ } $；$ 40 ^ { \circ } $.
(2) $ \angle A B P + \angle A C P = 90 ^ { \circ } - \angle A $.
理由：$ \because ( \angle P B C + \angle P C B ) + ( \angle A B P + \angle A C P ) + \angle A = 180 ^ { \circ } $，
$ \therefore 90 ^ { \circ } + ( \angle A B P + \angle A C P ) + \angle A = 180 ^ { \circ } $.
$ \therefore \angle A B P + \angle A C P + \angle A = 90 ^ { \circ } $.
$ \therefore \angle A B P + \angle A C P = 90 ^ { \circ } - \angle A $.
(3) $ \angle A C P - \angle A B P = 90 ^ { \circ } - \angle A $.
理由：设 $ A B $ 交 $ P C $ 于点 $ O $.
$ \because \angle A O C = \angle P O B $，
$ \therefore \angle A C O + \angle A = \angle P + \angle P B O $，即 $ \angle A C P + \angle A = 90 ^ { \circ } + \angle A B P $.
$ \therefore \angle A C P - \angle A B P = 90 ^ { \circ } - \angle A $.

12. 定义:在一个三角形中,如果有一个角的度数是另一个角度数的$\frac {1}{2}$,那么我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫作“和谐三角形”.
例如:在$\triangle ABC$中,如果$∠A=70^{\circ },∠B=$$35^{\circ }$,那么$∠A$与$∠B$互为“和谐角”，$\triangle ABC$为“和谐三角形”.
如图①,在$\triangle ABC$中,$∠ACB=90^{\circ },∠A=$$60^{\circ }$,D 是线段 AB 上一点(不与点 A,B 重合),连接 CD.
(1)$\triangle ABC$是“和谐三角形”吗？为什么？
(2)若$CD⊥AB$,则$\triangle ACD,\triangle BCD$是“和谐三角形”吗？为什么？
(3)如图②,在$\triangle ABC$中,$∠ACB=60^{\circ },$$∠A=80^{\circ }$,D 是线段 AB 上一点(不与点A,B 重合),连接 CD. 若$\triangle ACD$是“和谐三角形”，求$∠ACD$的度数.

答案：
(1) $ \triangle A B C $ 是“和谐三角形”.
$ \because \angle A C B = 90 ^ { \circ } $，$ \angle A = 60 ^ { \circ } $，
$ \therefore \angle B = 30 ^ { \circ } $.
$ \therefore \angle B = \frac { 1 } { 2 } \angle A $.
$ \therefore \triangle A B C $ 是“和谐三角形”.
(2) $ \triangle A C D $，$ \triangle B C D $ 是“和谐三角形”.
$ \because \angle A C B = 90 ^ { \circ } $，$ \angle A = 60 ^ { \circ } $，
$ \therefore \angle B = 30 ^ { \circ } $.
$ \because C D \perp A B $，
$ \therefore \angle A D C = \angle B D C = 90 ^ { \circ } $.
$ \therefore $ 易得 $ \angle A C D = 30 ^ { \circ } $，$ \angle B C D = 60 ^ { \circ } $.
在 $ \triangle A C D $ 中，$ \because \angle A = 60 ^ { \circ } $，$ \angle A C D = 30 ^ { \circ } $，
$ \therefore \angle A C D = \frac { 1 } { 2 } \angle A $.
$ \therefore \triangle A C D $ 是“和谐三角形”.
在 $ \triangle B C D $ 中，$ \because \angle B C D = 60 ^ { \circ } $，$ \angle B = 30 ^ { \circ } $，
$ \therefore \angle B = \frac { 1 } { 2 } \angle B C D $.
$ \therefore \triangle B C D $ 是“和谐三角形”.
(3) $ \because \triangle A C D $ 是“和谐三角形”，
$ \therefore $ 易得 $ \angle A C D = \frac { 1 } { 2 } \angle A $ 或 $ \angle A C D = \frac { 1 } { 2 } \angle A D C $.
当 $ \angle A C D = \frac { 1 } { 2 } \angle A $ 时，$ \angle A C D = \frac { 1 } { 2 } \times 80 ^ { \circ } = 40 ^ { \circ } $；
当 $ \angle A C D = \frac { 1 } { 2 } \angle A D C $ 时，$ \angle A + 3 \angle A C D = 180 ^ { \circ } $，即 $ 3 \angle A C D = 100 ^ { \circ } $，
$ \therefore \angle A C D = ( \frac { 100 } { 3 } ) ^ { \circ } $.
综上所述，$ \angle A C D $ 的度数为 $ 40 ^ { \circ } $ 或 $ ( \frac { 100 } { 3 } ) ^ { \circ } $.