《2025年拔尖特训八年级数学上册人教版》

12. 甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：$(2x+a)(3x+b)$。由于甲把第一个多项式中的“$+a$”看成了“$-a$”，得到的结果为$6x^{2}+11x-10$；由于乙漏抄了第二个多项式中$x$的系数，得到的结果为$2x^{2}-9x+10$。
(1)求$a$，$b$的值。
(2)写出这道整式乘法题的正确结果。

答案：
(1) 根据题意，得$(2x - a)(3x + b) = 6x^{2} + 2bx - 3ax - ab = 6x^{2} + (2b - 3a)x - ab = 6x^{2} + 11x - 10$，$(2x + a)(x + b) = 2x^{2} + 2bx + ax + ab = 2x^{2} + (2b + a)x + ab = 2x^{2} - 9x + 10$。
$\therefore \begin{cases}2b - 3a = 11 \\ 2b + a = -9\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -5 \\ b = -2\end{cases}$。
(2) $(2x - 5)(3x - 2) = 6x^{2} - 4x - 15x + 10 = 6x^{2} - 19x + 10$。

13. (2023·昆明期末)观察下列算式：
$(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$；
$(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=a^{3}-b^{3}$；
$(a-b)(a^{3}+a^{2}b+ab^{2}+b^{3})=a^{4}-b^{4}$。
(1)猜想：$(a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+\cdots+a+1)=$$a^{n} - 1$（其中$n$为正整数，且$n\geqslant2$）。
(2)利用(1)中猜想的结论计算：$2^{10}+2^{9}+2^{8}+2^{7}+\cdots+2^{3}+2^{2}+2+1$。
原式$= (2 - 1)×(2^{10} + 2^{9} + 2^{8} + 2^{7} + \cdots + 2^{3} + 2^{2} + 2 + 1) = (2 - 1)×(2^{10} + 2^{9}×1 + 2^{8}×1^{2} + \cdots + 2^{3}×1^{7} + 2^{2}×1^{8} + 2×1^{9} + 1^{10}) = 2^{11} - 1 = 2047$。

答案：
(1) $a^{n} - 1$。
(2) 原式$= (2 - 1)×(2^{10} + 2^{9} + 2^{8} + 2^{7} + \cdots + 2^{3} + 2^{2} + 2 + 1) = (2 - 1)×(2^{10} + 2^{9}×1 + 2^{8}×1^{2} + \cdots + 2^{3}×1^{7} + 2^{2}×1^{8} + 2×1^{9} + 1^{10}) = 2^{11} - 1 = 2047$。

14. (2024·重庆江北段考)已知$a$，$b$，$c$，$d$均为常数，$e$，$f$均为非零常数，若有两个整式$A=x^{2}+ex+f$，$B=5x^{3}-6x^{2}+10=a(x-1)^{3}+b(x-1)^{2}+c(x-1)+d$，有下列结论：①当$A+B$为关于$x$的三次三项式时，$f=-10$；②当$A\cdot B$不含$x^{4}$的项时，$e=6$；③$a+b+c=19$；④当$A$能被$x-2$整除时，$2e+f=-4$；⑤当$x=2m$和$m-2$时，无论$e$和$f$取何值，$A$的值总相等，则$m=-2$。其中，正确的个数为（B）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1

答案： B 解析：$\because A = x^{2} + ex + f$，$B = 5x^{3} - 6x^{2} + 10 = a(x - 1)^{3} + b(x - 1)^{2} + c(x - 1) + d$，$\therefore A + B = (x^{2} + ex + f) + (5x^{3} - 6x^{2} + 10) = 5x^{3} - 5x^{2} + ex + 10 + f$。$\because e$为非零常数，$\therefore$ 当$10 + f = 0$时，$A + B$为关于$x$的三次三项式，此时$f = -10$。故①正确。$A·B = (x^{2} + ex + f)×(5x^{3} - 6x^{2} + 10) = 5x^{5} + 5ex^{4} + 5fx^{3} - 6x^{4} - 6ex^{3} - 6fx^{2} + 10x^{2} + 10ex + 10f = 5x^{5} + (5e - 6)x^{4} + (5f - 6e)x^{3} + (10 - 6f)x^{2} + 10ex + 10f$。$\because A·B$不含$x^{4}$的项，$\therefore 5e - 6 = 0$，解得$e = \frac{6}{5}$。故②错误。$\because B = 5x^{3} - 6x^{2} + 10 = a(x - 1)^{3} + b(x - 1)^{2} + c(x - 1) + d$，当$x = 1$时，$B = 5×1^{3} - 6×1^{2} + 10 = a(1 - 1)^{3} + b(1 - 1)^{2} + c(1 - 1) + d$，即$d = 9$，当$x = 2$时，$B = 5×2^{3} - 6×2^{2} + 10 = a(2 - 1)^{3} + b(2 - 1)^{2} + c(2 - 1) + d$，即$a + b + c + d = 26$，$\therefore a + b + c = 26 - d = 17$。故③错误。$\because A$能被$x - 2$整除，$\therefore$ 可设$A = (x - 2)(x + n)$。$\because A = x^{2} + ex + f$，$\therefore (x - 2)(x + n) = x^{2} + ex + f$。令$x = 2$，得$(2 - 2)(2 + n) = 2^{2} + 2e + f$，即$4 + 2e + f = 0$。$\therefore 2e + f = -4$。故④正确。当$x = 2m$时，$A = (2m)^{2} + e·2m + f = 4m^{2} + 2me + f$，当$x = m - 2$时，$A = (m - 2)^{2} + (m - 2)e + f$，$\because$ 当$x = 2m$和$m - 2$时，无论$e$和$f$取何值，$A$的值总相等，$\therefore 4m^{2} = (m - 2)^{2}$且$2m = m - 2$，解得$m = -2$。故⑤正确。综上所述，正确的有①④⑤，共3个。

15. 对于一些涉及较大数值的问题，有时可以通过用字母代替数将其转化成整式问题来解决。先阅读材料，再解答问题。
例：若$x=123456789\times123456786$，$y=123456788\times123456787$，试比较$x$，$y$的大小。
解：设$123456788=a$，则$x=(a+1)(a-2)=a^{2}-a-2$，$y=a(a-1)=a^{2}-a$。
$\because x-y=(a^{2}-a-2)-(a^{2}-a)=-2$，
$\therefore x-y＜0$，即$x＜y$。
问题：若$x=20202020\times20202024-20202021\times20202023$，$y=20202021\times20202025-20202022\times20202024$，试比较$x$，$y$的大小。

答案： 设$20202020 = a$，则$x = a(a + 4) - (a + 1)(a + 3) = a^{2} + 4a - a^{2} - 3a - a - 3 = -3$，$y = (a + 1)(a + 5) - (a + 2)(a + 4) = a^{2} + 5a + a + 5 - a^{2} - 4a - 2a - 8 = -3$。
$\because -3 = -3$，
$\therefore x = y$。