《2025年拔尖特训八年级数学上册人教版》

[变式]分解因式:
(1)$m^{2}-2m - 63$.
(2)$2x^{2}-x - 15$.

答案：
(1)原式$=(m+7)(m-9)$.
(2)原式$=(x-3)(2x+5)$.

典例 5 求证:若$n$为正整数,则式子$(n + 1)(n + 2)(n^{2}+3n)+1$的值一定是某一个整数的平方.

答案： $\because (n+1)(n+2)(n^{2}+3n)+1=(n^{2}+3n+2)(n^{2}+3n)+1$,
∴ 可令$n^{2}+3n=A$.
∴ 原式$=A(A+2)+1=A^{2}+2A+1=(A+1)^{2}$.
再把“A”还原,得原式$=(n^{2}+3n+1)^{2}$.
∵n为正整数,
∴$n^{2}+3n+1$也为正整数.
∴式子$(n+1)(n+2)(n^{2}+3n)+1$的值一定是某一个整数的平方.

(1)填空:$(x - y)(x^{6}+x^{5}y + x^{4}y^{2}+x^{3}y^{3}+x^{2}y^{4}+xy^{5}+y^{6})=$$x^{7}-y^{7}$.
(2)若$n$为不小于$2$的整数,求证:$6^{n}-2^{n}$一定能被$4$整除.
$\because 6^{n}-2^{n}=(6-2)×(6^{n-1}+2×6^{n-2}+... +2^{n-1})=4×(6^{n-1}+2×6^{n-2}+... +2^{n-1})$,n为不小于2的整数,
$\therefore 6^{n-1}+2×6^{n-2}+2^{2}×6^{n-3}+... +2^{n-1}≠0$.
$\therefore 6^{n}-2^{n}$一定能被4整除.
(3)求$\frac{10^{20}}{9}-10^{19}-10^{18}-10^{17}-10^{16}-\cdots-10^{2}-10 - 1$的值.
设$x=\frac {10^{20}}{9}-10^{19}-10^{18}-10^{17}-10^{16}-... -10^{2}-10-1$①,则$10x=\frac {1}{9}×10^{21}-10^{20}-10^{19}-10^{18}-10^{17}-... -10^{3}-10^{2}-10$②.
∴ ②-①,得$9x=\frac {1}{9}×10^{21}-\frac {1}{9}×10^{21}+1=1$.
$\therefore x=\frac {1}{9}$.
$\therefore \frac {10^{20}}{9}-10^{19}-10^{18}-10^{17}-10^{16}-... -10^{2}-10-1=\frac {1}{9}$.

答案：
(1)$x^{7}-y^{7}$.
(2)$\because 6^{n}-2^{n}=(6-2)×(6^{n-1}+2×6^{n-2}+... +2^{n-1})=4×(6^{n-1}+2×6^{n-2}+... +2^{n-1})$,n为不小于2的整数,
$\therefore 6^{n-1}+2×6^{n-2}+2^{2}×6^{n-3}+... +2^{n-1}≠0$.
$\therefore 6^{n}-2^{n}$一定能被4整除.
(3)设$x=\frac {10^{20}}{9}-10^{19}-10^{18}-10^{17}-10^{16}-... -10^{2}-10-1$①,则$10x=\frac {1}{9}×10^{21}-10^{20}-10^{19}-10^{18}-10^{17}-... -10^{3}-10^{2}-10$②.
∴ ②-①,得$9x=\frac {1}{9}×10^{21}-\frac {1}{9}×10^{21}+1=1$.
$\therefore x=\frac {1}{9}$.
$\therefore \frac {10^{20}}{9}-10^{19}-10^{18}-10^{17}-10^{16}-... -10^{2}-10-1=\frac {1}{9}$.

1. (2025·武汉江岸期末)把$9mn + 6mn^{2}$分解因式,应提取的公因式为 (C)
A. $3m$
B. $mn$
C. $3mn$
D. $mn^{2}$

答案： C

2. 若能用完全平方公式将$x^{2}+mx + 25$分解因式,则$m$的值为 (C)
A. $10$
B. $-10$
C. $\pm10$
D. $\pm5$

答案： C

3. 若$A = x^{2}+2x - 6y,B=-y^{2}+4x - 11$,则$A$与$B$的大小关系为 (A)
A. $A＞B$
B. $A＜B$
C. $A\geqslant B$
D. $A = B$

答案： A

4. 多项式$x^{2}+ax + 12$分解因式为$(x + m)\cdot(x + n)$,其中$a,m,n$为整数,则$a$可以取的值有 (D)
A. $3$个
B. $4$个
C. $5$个
D. $6$个

答案： D

5. 有一个密码,它的明码是多项式$a^{3}-9a$,这种形式的明码转密码的一般方法如下:先将多项式分解因式,再对字母赋值,从而得到各因式的“因式码”(一般均为两位数的正整数),将这些“因式码”按一定的顺序排列,生成密码.破解密码的关键是要知道字母的值,以及“因式码”的排序方法.若设$a = 14$,则下列不可能是密码的为 (D)
A. $111417$
B. $141117$
C. $171411$
D. $117411$

答案： D