《2025年拔尖特训八年级数学上册人教版》

1. 如图，在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90^{\circ },AC=7cm,BC=5cm$，CD为边AB上的高，点E从点B出发，在直线BC上以2cm/s的速度移动.
（1）求证：$∠A=∠BCD.$
（2）过点E作BC的垂线，交直线CD于点F，当$CF=AB$时，点E移动了多长时间？请给出结论并说明理由.

答案：

(1)
∵CD为边AB上的高，
∴CD⊥AB,即∠ADC=90°,
∴∠A+∠ACD=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠BCD+∠ACD=90°.
∴∠A=∠BCD.
(2)当CF=AB时,点E移动了6s或1s.
理由:如图，当点E在射线BC上移动时,过点E作EF⊥BC,交直线CD于点F,则∠CEF=90°.
∵∠A=∠BCD,∠BCD=∠ECF,
∴∠A=∠ECF.
在△CFE和△ABC中,
{∠CEF = ∠ACB = 90°,
∠ECF = ∠A,
CF = AB,
∴△CFE≌△ABC(AAS).
∴CE=AC=7cm.
∴BE=BC+CE=12cm.
∴点E移动了12÷2=6(s).
当点E'在射线CB上移动时，过点E'作E'F'⊥BC,交直线CD于点F'.
同理,可得△CF'E'≌△ABC(AAS).
∴CE'=AC=7cm.
∴BE'=CE'−BC=2cm.
∴点E'移动了2÷2=1(s).
综上所述,当CF=AB时,点E移动了6s或1s.

2.（2024·遂宁期末）如图，在$△ABC$中，$AB=AC=10cm,BC=8cm$，D为AB的中点.点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动.
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s，$△BPD$与$△CQP$是否全等？请说明理由.
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能使$△BPD$与$△CQP$全等？

答案：
(1)△BPD与△CQP全等.
理由:经过1s,BP=3cm,CQ=3cm,则PC=BC−BP=8−3=5(cm).
∵D为AB的中点,AB=10cm,
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=5cm.
∴BD=PC.
过点A作AM⊥BC于点M,则∠AMB=∠AMC=90°.
在Rt△AMB和Rt△AMC中,
{AB = AC，
AM = AM，
∴Rt△AMB≌Rt△AMC(HL).
∴∠B=∠C.
在△BPD和△CQP中,
{BD = CP，
∠B = ∠C，
BP = CQ，
∴△BPD≌△CQP(SAS).
(2)设点Q的运动速度为xcm/s (x≠3),经过ts,△BPD与△CQP全等,则PB=3tcm,PC=(8−3t)cm,
CQ=xtcm.
由
(1)知,∠B=∠C.
根据“SAS”判定三角形全等可知，分两种情况讨论:
①当BD=PC且BP=CQ时,8 - 3t = 5且3t = xt,解得t = 1,x = 3.
∵x≠3,
∴此种情况不符合题意，舍去.
②当BD=CQ且BP=CP时,5 = xt且3t = 8 - 3t,解得t=$\frac{4}{3}$,x=$\frac{15}{4}$.
故若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为$\frac{15}{4}$cm/s时,能使△BPD与△CQP全等.