《2025年拔尖特训八年级数学上册人教版》

1. 如图，在$\triangle ABC$中，$AC=2AB$，$AD$平分$\angle BAC$交$BC$于点$D$，$E$是$AD$上一点，且$EA=EC$，连接$EB$。求证：$EB\perp AB$。

答案：
如图，过点E作$EF\perp AC$于点F，则$\angle AFE = 90^{\circ}$。
$\because EA = EC$，
$\therefore AF = FC = \frac{1}{2}AC$。
$\because AC = 2AB$，
$\therefore$易得$AB = AF$。
$\because AD$平分$\angle BAC$，
$\therefore \angle BAE = \angle FAE$。
又$\because AE = AE$，
$\therefore \triangle ABE \cong \triangle AFE$。
$\therefore \angle ABE = \angle AFE = 90^{\circ}$。
$\therefore EB \perp AB$。

2. (2025·菏泽定陶期中改编)如图，等边三角形$ABC$的边长为3，过边$AB$上一点$P$作$PE\perp AC$于点$E$，$Q$为$BC$的延长线上一点，取$CQ=PA$，连接$PQ$，交$AC$于点$M$，求$ME$的长。

答案： 过点P作$PF // BC$交AC于点F。
$\because PF // BC$，$\triangle ABC$是等边三角形，
$\therefore \angle PFM = \angle QCM$，$\angle APF = \angle B = 60^{\circ}$，$\angle AFP = \angle ACB = 60^{\circ}$，$\angle A = 60^{\circ}$。
$\therefore \triangle APF$是等边三角形。
$\therefore PA = PF = AF$。
$\because PE \perp AC$，
$\therefore AE = EF$。
$\because PA = PF$，$CQ = PA$，
$\therefore PF = CQ$。
在$\triangle PFM$和$\triangle QCM$中，
$\left\{ \begin{array} { l } { \angle PFM = \angle QCM, } \\ { \angle PMF = \angle QMC, } \\ { PF = QC, } \end{array} \right.$
$\therefore \triangle PFM \cong \triangle QCM$。
$\therefore FM = CM$。
$\because AE = EF$，
$\therefore EF + FM = AE + CM$。
$\therefore AE + CM = ME = \frac { 1 } { 2 } AC$。
$\because AC = 3$，
$\therefore ME = \frac { 3 } { 2 }$。

3. $\triangle ABC$是等边三角形，$D$为射线$AC$上的一个动点，$E$为$BC$的延长线上的一个动点，且$BD=DE$。
(1) 如图①，若点$D$在边$AC$上，猜想线段$AD$与$CE$之间的数量关系，并说明理由。
(2) 如图②，若点$D$在$AC$的延长线上，其他条件不变，则(1)中的结论是否仍成立？请说明理由。

答案：
（1）$AD = CE$。
理由：如图①，过点D作$DP // BC$，交AB于点P。
$\because \triangle ABC$是等边三角形，
$\therefore \angle A = \angle ABC = \angle ACB = 60^{\circ}$。
$\because DP // BC$，
$\therefore \angle APD = \angle ABC = 60^{\circ}$，$\angle ADP = \angle ACB = 60^{\circ}$。
$\therefore$易得$\triangle APD$是等边三角形。
$\therefore AP = PD = AD$。
$\because BD = DE$，
$\therefore \angle DBC = \angle E$。
$\because DP // BC$，
$\therefore \angle PDB = \angle DBC$。
$\therefore \angle PDB = \angle E$。
又$\because \angle BPD = \angle A + \angle ADP = 120^{\circ}$，$\angle DCE = \angle A + \angle ABC = 120^{\circ}$，
$\therefore \angle BPD = \angle DCE$。
在$\triangle BPD$和$\triangle DCE$中，
$\left\{ \begin{array} { l } { \angle BPD = \angle DCE, } \\ { \angle PDB = \angle E, } \\ { BD = DE, } \end{array} \right.$
$\therefore \triangle BPD \cong \triangle DCE$。
$\therefore PD = CE$。
$\therefore AD = CE$。
（2）成立。
理由：如图②，过点D作$DP // BC$，交AB的延长线于点P。
$\because \triangle ABC$是等边三角形，
$\therefore \angle A = \angle ABC = \angle ACB = 60^{\circ}$。
$\because DP // BC$，
$\therefore \angle APD = \angle ABC = 60^{\circ}$，$\angle ADP = \angle ACB = 60^{\circ}$。
$\therefore$易得$\triangle APD$是等边三角形。
$\therefore AP = PD = AD$。
$\because \angle DCE = \angle ACB = 60^{\circ}$，
$\therefore \angle BPD = \angle DCE$。
$\because BD = DE$，
$\therefore \angle DBC = \angle E$。
$\because DP // BC$，
$\therefore \angle PDB = \angle DBC$。
$\therefore \angle PDB = \angle E$。
在$\triangle BPD$和$\triangle DCE$中，
$\left\{ \begin{array} { l } { \angle BPD = \angle DCE, } \\ { \angle PDB = \angle E, } \\ { BD = DE, } \end{array} \right.$
$\therefore \triangle BPD \cong \triangle DCE$。
$\therefore PD = CE$。
$\therefore AD = CE$。

4. 如图，$CE$，$CB$分别是$\triangle ABC$，$\triangle ADC$的中线，且$AB=AC$。求证：$CD=2CE$。

答案：
如图，延长CE到点F，使$EF = CE$，连接FB，则$CF = 2CE$。
$\because CE$是$\triangle ABC$的中线，
$\therefore AE = BE$。
在$\triangle BEF$和$\triangle AEC$中，
$\left\{ \begin{array} { l } { BE = AE, } \\ { \angle BEF = \angle AEC, } \\ { EF = EC, } \end{array} \right.$
$\therefore \triangle BEF \cong \triangle AEC$。
$\therefore \angle EBF = \angle A$，$BF = AC$。
又$\because AB = AC$，
$\therefore \angle ABC = \angle ACB$。
$\therefore \angle CBD = \angle A + \angle ACB = \angle EBF + \angle ABC = \angle CBF$。
$\because CB$是$\triangle ADC$的中线，
$\therefore AB = BD$。
又$\because AB = AC$，$AC = BF$，
$\therefore BF = BD$。
在$\triangle CBF$和$\triangle CBD$中，
$\left\{ \begin{array} { l } { CB = CB, } \\ { \angle CBF = \angle CBD, } \\ { BF = BD, } \end{array} \right.$
$\therefore \triangle CBF \cong \triangle CBD$。
$\therefore CF = CD$。
$\therefore CD = 2CE$。