《2025年拔尖特训八年级数学上册人教版》

9. （2025·衢州江山期中）如图，在$\triangle ABC$中，$AD$是边$BC$上的高，$CE$是边$AB$上的中线，$DG\perp CE$于点$G$，$CD=AE$。求证：$CG=EG$。

答案： 9.作线段BD的垂直平分线，交BA于点E'，垂足为H，连接E'D，则E'B=E'D.
∴∠B=∠E'DB.
∵AD是边BC上的高，
∴AD⊥BC.
∴∠E'DB+∠ADE'=90°，∠B+∠BAD=90°.
∴∠ADE'=∠BAD.
∴E'D=AE'.
∴AE'=E'B，即E'是AB的中点.
∵CE是边AB上的中线，
∴E是AB的中点.
∴点E'与点E重合.
∵CD=AE，
∴ED=CD.
又
∵DG⊥CE，
∴CG=EG.

10. 如图，在锐角三角形$ABC$中，$E$是边$AB$上一点，$BE=CE$，$AD\perp BC$于点$D$，$AD$与$CE$交于点$G$。求证：
（1）$\angle BEC=2\angle AGE$。
（2）$\triangle AEG$是等腰三角形。

答案：
10.
(1)如图，过点E作EF⊥BC于点F.
∵BE=CE，EF⊥BC，
∴∠BEF=∠CEF=$\frac{1}{2}$∠BEC.
又
∵EF⊥BC，AD⊥BC，
∴EF//AD.
∴∠AGE=∠CEF=$\frac{1}{2}$∠BEC.
∴∠BEC=2∠AGE.
(2)由
(1)，知∠BEF=∠CEF=∠AGE，EF//AD.
∴∠BEF=∠BAD，即∠BEF=∠EAG.
∴∠AGE=∠EAG.
∴EG=EA.
∴△AEG是等腰三角形.

方法归纳
判定等腰三角形的关键——证明有两条边相等
(1) 通过角之间的等量代换证明有两个角相等，利用等角对等边.
(2) 证明有所证两条边的两个三角形全等，得相等线段.
(3) 垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到该线段两个端点的距离相等.
(4) 角平分线上的点到角两边的距离相等.

11. （2025·福州鼓楼期中）如图，在$\triangle ABC$中，$AD$平分$\angle BAC$，$\angle ACB=3\angle B$，$CE\perp AD$于点$E$，$AC=8$，$BC=\frac{7}{4}BD$，则$CE=$______。

答案：
11.$\frac{4}{3}$　解析:如图，延长CE交AB于点F，过点D作DH⊥AB于点H，DN⊥AC交AC的延长线于点N，过点A作AM⊥BC交BC的延长线于点M.
∵CE⊥AD，
∴∠AEF=∠AEC=90°.
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAE=∠CAE，DH=DN.在△AEF和△AEC中，$\begin{cases}∠FAE = ∠CAE, \\ AE = AE, \\ ∠AEF = ∠AEC,\end{cases}$
∴△AEF≌△AEC.
∴AF=AC=8，∠AFE=∠ACE，EF=CE.
∵∠AFC=∠B+∠ECD，
∴∠ACF=∠B+∠ECD.
∴∠ACB=2∠ECD+∠B.
∵∠ACB=3∠B，
∴2∠ECD+∠B=3∠B.
∴∠B=∠ECD.
∴CF=BF.
∵　BC=$\frac{7}{4}$BD，
∴$\frac{BD}{CD}$=$\frac{4}{3}$.
∵$S_{△ADB}$ = $\frac{1}{2}$AB·DH = $\frac{1}{2}$BD·AM，$S_{△ACD}$ = $\frac{1}{2}$AC·DN = $\frac{1}{2}$CD·AM.
∴ $\frac{\frac{1}{2}AB·DH}{\frac{1}{2}AC·DN}$ = $\frac{\frac{1}{2}BD·AM}{\frac{1}{2}CD·AM}$，即 $\frac{AB}{AC}$ = $\frac{BD}{CD}$ = $\frac{4}{3}$.
∴AB=$\frac{4}{3}$AC=$\frac{32}{3}$.
∴CF=BF=AB - AF = $\frac{32}{3}$ - 8 = $\frac{8}{3}$.
∴CE = $\frac{1}{2}$CF = $\frac{4}{3}$.

12. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB=AC=2$，$\angle B=\angle C=40^{\circ}$。点$D$在线段$BC$上运动（点$D$不与点$B$，$C$重合），连接$AD$，作$\angle ADE=40^{\circ}$，$DE$交线段$AC$于点$E$。
（1）当$\angle BAD=20^{\circ}$时，$\angle EDC$的度数为20°。
（2）当$DC$的长为多少时，$\triangle ABD\cong\triangle DCE$？请说明理由。
当DC=2时，△ABD≌△DCE.
理由:∵∠ADE=40°，∠B=40°，∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，
∴∠BAD=∠CDE.
∵AB=2，DC=2，
∴AB=DC.
在△ABD和△DCE中，
$\begin{cases}∠B = ∠C, \\ AB = DC, \\ ∠BAD = ∠CDE,\end{cases}$
∴△ABD≌△DCE.
（3）$\triangle ADE$能成为等腰三角形吗？若能，请直接写出此时$\angle BAD$的度数；若不能，请说明理由。
能.
当∠BAD=30°或60°时，△ADE能成为等腰三角形.

答案： 12.
(1)20°.
(2)当DC=2时，△ABD≌△DCE.
理由:
∵∠ADE=40°，∠B=40°，∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，
∴∠BAD=∠CDE.
∵AB=2，DC=2，
∴AB=DC.
在△ABD和△DCE中，
$\begin{cases}∠B = ∠C, \\ AB = DC, \\ ∠BAD = ∠CDE,\end{cases}$
∴△ABD≌△DCE.
(3)能.
当∠BAD=30°或60°时，△ADE能成为等腰三角形.