《2025年拔尖特训八年级数学上册人教版》

1. 如图，$\triangle ABC$是边长为5的等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，$DE// AB$，过点E作$EF\perp DE$，交BC的延长线于点F.若$BD=2$，则DF的长为（B）

A. 7
B. 6
C. 5
D. 4

答案： B

2. 如图，$\angle MAN=60^{\circ}$，点B，D在边AN上，且点D在点B的右侧，$AB=2$，C是边AM上一动点，在点C运动的过程中，始终保持$CB=CD$.若$AC=m$，则AD的长为（D）

A. $\frac{1}{2}m+1$
B. $\frac{1}{2}m+2$
C. $\frac{1}{2}m-1$
D. $m-2$

答案： D

3. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle B=90^{\circ}$，边AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，且$\angle C=15^{\circ}$.若$AB=2cm$，则EC的长为4cm.

答案： 4

4. (2024·枣庄峄城段考)如图，在$\triangle ABC$中，$AB=BC=AC$，$AE=CD$，AD与BE相交于点P，$BQ\perp AD$于点Q.求证：
(1)$\triangle ADC\cong\triangle BEA$.
(2)$BP=2PQ$.

答案：
(1)
∵AB = BC = AC，
∴△ABC是等边三角形.
∴∠C = ∠BAC = 60°.
又
∵AC = BA，CD = AE，
∴△ADC ≌ △BEA.
(2)由
(1)知，△ADC ≌ △BEA，
∴∠CAD = ∠ABE.
∵∠BAC = ∠CAD + ∠BAD = 60°，
∴∠ABE + ∠BAD = 60°.
∴∠BPQ = 60°.
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ = 30°.
∴BP = 2PQ.

5. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB=AC=11$，$\angle BAC=120^{\circ}$，AD是$\triangle ABC$的中线，AE是$\angle BAD$的平分线，$DF// AB$交AE的延长线于点F，则DF的长为（C）

A. 4.5
B. 5
C. 5.5
D. 6

答案： C

6. (2023·仙桃期末)如图，$\angle ABC=60^{\circ}$，$AB=8$，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，设点P的运动时间为$t(t＞0)$秒，当$\triangle ABP$为锐角三角形时，t的取值范围是（D）

A. $t＞4$
B. $t＜8$
C. $8＜t＜16$
D. $4＜t＜16$

答案： D

7. $\triangle ABC$是边长为6cm的等边三角形，P为边AB上一点，$BP=4cm$，Q为射线BC上一点，当CQ的长为________时，$\triangle PBQ$是直角三角形.

答案：
4cm或2cm　解析:
∵△ABC是边长为6cm的等边三角形，
∴∠B = 60°，AB = BC = 6cm.如图①，当∠PQB = 90°时，∠BPQ = 90° - 60° = 30°.
∴BQ = $\frac{1}{2}$BP = 2cm.
∴CQ = BC - BQ = 4cm.如图②，当∠BPQ = 90°时，∠Q = 90° - 60° = 30°.
∴BQ = 2BP = 8cm.
∴CQ = BQ - BC = 2cm.综上所述，当CQ的长为4cm或2cm时，△PBQ是直角三角形.

8. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，$DE// BC$，点F在BC的延长线上，且$EB=EF$.若$BD=4$，$BF=8$，则线段DE的长为______.

答案：
2　解析:如图，过点E作EH⊥BF于点H，设DE = x.
∴∠EHC = 90°.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A = ∠ABC = ∠ACB = 60°，AB = BC = AC.
∵DE//BC，
∴∠ADE = ∠ABC = 60°，∠AED = ∠ACB = 60°.
∴△ADE是等边三角形，AD = DE = AE = x.
∵BD = 4，
∴易得EC = BD = 4，AB = BC = AC = 4 + x.在Rt△CHE中，
∵∠ECH = 60°，
∴∠HEC = 180° - ∠ECH - ∠EHC = 180° - 60° - 90° = 30°.
∵EC = 4，
∴CH = $\frac{1}{2}$EC = 2.
∴BH = BC - CH = 4 + x - 2 = 2 + x.
∵EB = EF，
∴△EBF是等腰三角形.
∵EH⊥BF，BF = 8，
∴BH = FH = 4.
∴2 + x = 4.
∴x = 2.
∴DE = 2.