《2025年拔尖特训八年级数学上册人教版》

9. 如图，在△ABC中，AC=BC，延长AC到点E，过点E作EF⊥AB，交AB的延长线于点F，延长CB到点G，过点G作GH⊥AB，交AB的延长线于点H，且EF=GH.
（1）求证：△AEF≌△BGH.
（2）连接EG，交FH于点D.若AB=4，求DH的长.

答案：
(1)
∵AC = BC，
∴∠A = ∠ABC。
∵∠ABC = ∠GBH，
∴∠A = ∠GBH。
∵EF⊥AB，GH⊥AB，
∴∠AFE = ∠BHG = 90°。
在△AEF和△BGH中，
$\left\{ \begin{array}{l} \angle A = \angle GBH, \\ \angle AFE = \angle BHG, \\ EF = GH \end{array} \right. $
∴△AEF≌△BGH(AAS)。
(2)
∵△AEF≌△BGH，
∴AF = BH。
∴AF - BF = BH - BF，即AB = FH = 4。
∵EF⊥AB，GH⊥AB，
∴∠EFD = ∠GHD = 90°。
在△EFD和△GHD中，
$\left\{ \begin{array}{l} \angle EDF = \angle GDH, \\ \angle EFD = \angle GHD, \\ EF = GH \end{array} \right. $
∴△EFD≌△GHD(AAS)。
∴DF = DH = $\frac{1}{2}$FH = 2。

10. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB，ON交于点Q，且OA=OB，过A，B两点分别作AM⊥OQ于点M，BN⊥OQ于点N.若AM=9，BN=4，则MN的长为______.

5

答案： 5　解析:
∵AM⊥OQ，BN⊥OQ，
∴∠AMO = ∠ONB = 90°。
∴∠OAM + ∠AON = 90°。
∵∠AOB = 90°，
∴∠AON + ∠BON = 90°。
∴∠OAM = ∠BON。在△OAM和△BON中，
$\left\{ \begin{array}{l} \angle AMO = \angle ONB, \\ \angle OAM = \angle BON, \\ OA = BO \end{array} \right. $
∴△OAM≌△BON(AAS)。
∴AM = ON = 9，OM = BN = 4。
∴MN = ON - OM = 9 - 4 = 5。

11. 如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD=BD，AC=6.
（1）求BO的长.
（2）F是射线BC上的一点，且CF=AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，求t的值.

答案：

(1)
∵△ABC的两条高AD与BE交于点O，
∴∠CAD + ∠ACD = ∠CAD + ∠AOE = 90°。
∴∠ACD = ∠AOE。
∵∠BOD = ∠AOE，
∴∠BOD = ∠ACD。
在△BDO和△ADC中，
$\left\{ \begin{array}{l} \angle BOD = \angle ACD, \\ \angle BDO = \angle ADC = 90°, \\ BD = AD \end{array} \right. $
∴△BDO≌△ADC(AAS)。
∴BO = AC = 6。
(2)①若点F在线段BC的延长线上(如图①)，
∵由
(1)知，∠AOE = ∠ACD，
∴180° - ∠AOE = 180° - ∠ACD，即∠AOP = ∠FCQ。
又
∵AO = FC，
∴当△AOP≌△FCQ时，OP = CQ。
∵OP = t，CQ = 6 - 4t，
∴t = 6 - 4t，解得t = 1.2。
②若点F在线段BC上(如图②)，
∵由
(1)知，∠BOD = ∠ACD，
∴180° - ∠BOD = 180° - ∠ACD，即∠AOP = ∠FCQ。
又
∵AO = FC，
∴当△AOP≌△FCQ时，OP = CQ。
∵OP = t，CQ = 4t - 6，
∴t = 4t - 6，解得t = 2。
综上所述，当△AOP与△FCQ全等时，t的值为1.2或2。