《2025年拔尖特训八年级数学上册人教版》

1. 计算：
(1)$(2a-3b+1)^{2}.$
(2)$(a+4b-c)(a-4b-c).$
(3)$(2x+y-6)(2x-y+6)-(x-y-6)^{2}.$

答案：
(1) 原式 $ = (2a - 3b)^2 + 2(2a - 3b) + 1 = 4a^2 - 12ab + 9b^2 + 4a - 6b + 1 $。
(2) 原式 $ = [(a - c) + 4b][(a - c) - 4b] = (a - c)^2 - (4b)^2 = a^2 - 2ac + c^2 - 16b^2 $。
(3) 原式 $ = [2x + (y - 6)][2x - (y - 6)] - [(x - y)^2 - 12(x - y) + 36] = (2x)^2 - (y - 6)^2 - (x^2 - 2xy + y^2 - 12x + 12y + 36) = 4x^2 - y^2 + 12y - 36 - x^2 + 2xy - y^2 + 12x - 12y - 36 = 3x^2 + 2xy - 2y^2 + 12x - 72 $。

2. 利用乘法公式计算：
(1)$1004×996.$
(2)$40\frac {1}{3}×39\frac {2}{3}.$
(3)$199^{2}.$
(4)$101^{2}+99^{2}.$

答案：
(1) 原式 $ = (1000 + 4) \times (1000 - 4) = 1000^2 - 4^2 = 999984 $。
(2) 原式 $ = \left(40 + \frac{1}{3}\right) \times \left(40 - \frac{1}{3}\right) = 40^2 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1600 - \frac{1}{9} = 1599\frac{8}{9} $。
(3) 原式 $ = (200 - 1)^2 = 200^2 - 2 \times 200 + 1 = 40000 - 400 + 1 = 39601 $。
(4) 原式 $ = (100 + 1)^2 + (100 - 1)^2 = 10000 + 200 + 1 + 10000 - 200 + 1 = 20002 $。

3. (2024·大庆肇源期中)已知$(a+b)^{2}=5,$$(a-b)^{2}=3$,求下列式子的值:
(1)$a^{2}+b^{2}.$
(2)6ab.

答案：
(1) $ \because (a + b)^2 = 5 $，$ (a - b)^2 = 3 $，
$ \therefore a^2 + 2ab + b^2 = 5 $，$ a^2 - 2ab + b^2 = 3 $。
$ \therefore 2(a^2 + b^2) = 8 $，解得 $ a^2 + b^2 = 4 $。
(2) $ \because a^2 + b^2 = 4 $，
$ \therefore 4 + 2ab = 5 $，解得 $ ab = \frac{1}{2} $。
$ \therefore 6ab = 3 $。

4. 若$a+b=2,a^{2}+b^{2}=3$,求:
(1)ab的值.
(2)$a^{4}+b^{4}$的值.

答案：
(1) $ \because a + b = 2 $，$ a^2 + b^2 = 3 $，
$ \therefore (a + b)^2 = 4 = a^2 + b^2 + 2ab $，即 $ 3 + 2ab = 4 $，解得 $ ab = \frac{1}{2} $。
(2) $ \because a^2 + b^2 = 3 $，$ ab = \frac{1}{2} $，
$ \therefore a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - 2a^2b^2 = 3^2 - 2 \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 8\frac{1}{2} $。

5. (1)已知$x-y=5,xy=-6$,求$x+y$的值.
(2)已知$a＞0,a-\frac {2}{a}=1$,求$a+\frac {2}{a}$的值.

答案：
(1) $ \because (x + y)^2 = (x - y)^2 + 4xy = 5^2 + 4 \times (-6) = 1 $，
$ \therefore x + y = \pm 1 $。
(2) $ \because \left(a + \frac{2}{a}\right)^2 = \left(a - \frac{2}{a}\right)^2 + 4a \cdot \frac{2}{a} = 1 + 8 = 9 $，$ a ＞ 0 $，
$ \therefore a + \frac{2}{a} = 3 $。

6. (2023·衢州期末)学习了乘法公式“$(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}$”的应用后,王老师提出问题:求$x^{2}+2x+2$的最小值.同学们经过探究、合作、交流,最后得到如下解法:
$x^{2}+2x+2=(x^{2}+2x+1^{2}-1^{2})+2=(x+1)^{2}+1.$
$\because (x+1)^{2}≥0,$
$\therefore (x+1)^{2}+1≥1.$
当$(x+1)^{2}=0$时,$(x+1)^{2}+1$的值最小,最小值为1.
$\therefore x^{2}+2x+2$的最小值为1.
请你根据上述解法,解答下列问题:
(1)求$y^{2}-6y+11$的最小值.
(2)求$2a^{2}+8a+5$的最小值.
(3)若$x-y=1$,求$x^{2}+3x+y$的最小值.

答案：
(1) $ y^2 - 6y + 11 = y^2 - 6y + 3^2 - 3^2 + 11 = (y - 3)^2 + 2 $。
$ \because (y - 3)^2 \geq 0 $，
$ \therefore (y - 3)^2 + 2 \geq 2 $。
当 $ (y - 3)^2 = 0 $ 时，$ (y - 3)^2 + 2 $ 的值最小，最小值为 $ 2 $。
$ \therefore y^2 - 6y + 11 $ 的最小值为 $ 2 $。
(2) $ 2a^2 + 8a + 5 = 2(a^2 + 4a) + 5 = 2(a^2 + 4a + 2^2 - 2^2) + 5 = 2(a + 2)^2 - 8 + 5 = 2(a + 2)^2 - 3 $。
$ \because (a + 2)^2 \geq 0 $，
$ \therefore 2(a + 2)^2 \geq 0 $。
$ \therefore 2(a + 2)^2 - 3 \geq -3 $。
当 $ (a + 2)^2 = 0 $ 时，$ 2(a + 2)^2 - 3 $ 的值最小，最小值为 $ -3 $。
$ \therefore 2a^2 + 8a + 5 $ 的最小值为 $ -3 $。
(3) $ \because x - y = 1 $，
$ \therefore y = x - 1 $。
$ \therefore x^2 + 3x + y = x^2 + 3x + x - 1 = x^2 + 4x - 1 = x^2 + 4x + 2^2 - 2^2 - 1 = (x + 2)^2 - 5 $。
$ \because (x + 2)^2 \geq 0 $，
$ \therefore (x + 2)^2 - 5 \geq -5 $。
当 $ (x + 2)^2 = 0 $ 时，$ (x + 2)^2 - 5 $ 的值最小，最小值为 $ -5 $。
$ \therefore x^2 + 3x + y $ 的最小值为 $ -5 $。