《2025年拔尖特训八年级数学上册人教版》

6. (2025·大连段考)如图,在$\triangle ABC$中,DM,EN分别垂直平分边AC和边BC,交边AB于M,N两点,DM与EN相交于点F,连接CM,CN.
(1)若$AB=3cm$,求$\triangle CMN$的周长.
(2)若$∠MFN=70^{\circ }$,求$∠MCN$的度数.

答案：
(1)
∵ DM，EN 分别垂直平分边 AC 和边 BC，
$\therefore AM=CM$，$BN=CN$。
$\therefore \triangle CMN$的周长$=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB=3cm$。
(2) $\because ∠MFN=70^{\circ }$，
$\therefore ∠MNF+∠NMF=180^{\circ }-70^{\circ }=110^{\circ }$。
$\because ∠AMD=∠NMF$，$∠BNE=∠MNF$，
$\therefore ∠AMD+∠BNE=∠NMF+∠MNF=110^{\circ }$。
$\therefore ∠A+∠B=90^{\circ }-∠AMD+90^{\circ }-∠BNE=180^{\circ }-110^{\circ }=70^{\circ }$。
$\because AM=CM$，$BN=CN$，
$\therefore ∠A=∠ACM$，$∠B=∠BCN$。
$\therefore ∠MCN=180^{\circ }-2(∠A+∠B)=180^{\circ }-2×70^{\circ }=40^{\circ }$。

7. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$∠B=40^{\circ }$,D是边BC上的动点(不与点B,C重合),连接AD. 若$\triangle ACD$为等腰三角形,则$∠ADB$的度数为 (D)
A.$80^{\circ }$
B.$110^{\circ }$
C.$120^{\circ }$
D.$80^{\circ }$或$110^{\circ }$

答案： D

8. 如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为$(3,2)$,点B的坐标为$(1,0)$,以线段AB为边作等腰三角形ABP,使得点P在坐标轴上,则这样的点P有 ( )

A. 4个
B. 5个
C. 6个
D. 7个

答案：
D 解析：由题意，得点 P 不与点 A，B 重合。如图，以点 A 为圆心，AB 长为半径画圆，与 x 轴有一个交点（除点 B 外）；以点 B 为圆心，AB 长为半径画圆，与 x 轴有两个交点，与 y 轴有两个交点；作 AB 的垂直平分线，与 x 轴、y 轴各有一个交点。综上所述，这样的点 P 有 7 个。

9. 在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所成的锐角为$40^{\circ }$,则底角$∠B$的度数为$65^{\circ }$或$25^{\circ }$.

答案： $65^{\circ }$或$25^{\circ }$

10. 在等腰三角形ABC中,$AB=AC$,中线BD将$\triangle ABC$的周长分成了15和18两个部分,则底边BC的长为9 或 13.

答案： 9 或 13

11. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$∠BAC=45^{\circ }$,动点D在边AB上(不与点A,B重合),动点E在边AC上(不与点A,C重合),$BD=CE$,BE与CD交于点F.
(1)求证:$BF=CF$.
(2)当$\triangle BFD$是等腰三角形时,求$∠FBD$的度数.

答案：
(1) $\because AB=AC$，
$\therefore ∠ABC=∠ACB$。
在$\triangle BCD$和$\triangle CBE$中，
$\left\{\begin{array}{l} BC=CB,\\ ∠DBC=∠ECB,\\ BD=CE,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle BCD≌\triangle CBE$。
$\therefore ∠FCB=∠FBC$。
$\therefore BF=CF$。
(2) $\because AB=AC$，$∠BAC=45^{\circ }$，
$\therefore ∠ABC=∠ACB=\frac {1}{2}(180^{\circ }-∠BAC)=67.5^{\circ }$。
由
(1)，知$∠FBC=∠FCB$。
$\therefore$ 易得$∠FBD=∠FCE$。
设$∠FBD=∠FCE=x$，则$∠FBC=∠FCB=67.5^{\circ }-x$，$∠BDF=∠FCE+∠BAC=x+45^{\circ }$，$∠DFB=2∠FBC=2×(67.5^{\circ }-x)=135^{\circ }-2x$。
$\because \triangle BFD$是等腰三角形，
$\therefore$ 分三种情况讨论：
① 当$BD=BF$时，$∠BDF=∠DFB$，
$\therefore x+45^{\circ }=135^{\circ }-2x$，解得$x=30^{\circ }$，即$∠FBD=30^{\circ }$。
② 当$BD=DF$时，$∠FBD=∠DFB$，
$\therefore x=135^{\circ }-2x$，解得$x=45^{\circ }$，即$∠FBD=45^{\circ }$。
③ 当$BF=DF$时，$∠FBD=∠BDF$，
$\therefore x=x+45^{\circ }$，不合题意，舍去。
综上所述，$∠FBD=30^{\circ }$或$45^{\circ }$。