《2025年拔尖特训八年级数学上册人教版》

13. 不解方程组 $ \begin{cases} 2x + y = 6, \\ x - 3y = 1, \end{cases} $求 $ 7y(x - 3y)^{2} - 2(3y - x)^{3} $的值.

答案： 原式$=(x - 3y)^{2}[7y + 2(x - 3y)] = (x - 3y)^{2}(7y + 2x - 6y) = (x - 3y)^{2}(2x + y)$。
把$\begin{cases}2x + y = 6, \\ x - 3y = 1\end{cases}$代入，得原式$= 1^{2}×6 = 6$。

14. 求证:$ 3^{2026} - 4×3^{2025} + 10×3^{2024} $一定能被 7 整除.

答案： $\because 3^{2026} - 4×3^{2025} + 10×3^{2024} = 3^{2024}×(3^{2} - 4×3 + 10) = 3^{2024}×7$，且$3^{2024}$为整数，
$\therefore 3^{2026} - 4×3^{2025} + 10×3^{2024}$一定能被7整除。

15. 新考向·数学文化 (2024·张掖甘州期末)《数书九章》中的秦九韶算法是我国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法.在现代,利用计算机解决多项式的求值问题时,秦九韶算法依然是最优的算法.例如:计算当 $ x = 8 $时,多项式 $ 3x^{3} - 4x^{2} - 35x + 8 $的值,按照秦九韶算法,可先将多项式 $ 3x^{3} - 4x^{2} - 35x + 8 $一步步地进行改写:$ 3x^{3} - 4x^{2} - 35x + 8 = x(3x^{2} - 4x - 35) + 8 = x[x(3x - 4) - 35] + 8 $.按改写后的方式计算与直接计算相比节省了乘法次数,使计算量减少.根据上述方法,当 $ x = - 8 $时,多项式 $ x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2} + 1 $的值为 (A)
A. 6401
B. 6399
C. - 6399
D. - 6401

答案： A 解析：$\because x = -8$，$\therefore x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2} + 1 = x^{2}(x^{2} - 4x + 4) + 1 = x^{2}(x - 2)^{2} + 1 = [x(x - 2)]^{2} + 1 = [(-8)×(-8 - 2)]^{2} + 1 = 80^{2} + 1 = 6401$。

16. 阅读因式分解的过程,再解答下列问题:
$ 1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^{2} $
$ = (1 + x)[1 + x + x(x + 1)] $
$ = (1 + x)^{2}(1 + x) $
$ = (1 + x)^{3} $.
(1) 上述因式分解的方法是提公因式法,共用了2次.
(2) $ 1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^{2} + \cdots + x(x + 1)^{2025} $分解因式的结果是$(1 + x)^{2026}$.
(3) 按照上述方法分解因式:$ 1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^{2} + \cdots + x(x + 1)^{n} $( $ n $ 为正整数).
$1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^{2} + \cdots + x(x + 1)^{n} = (1 + x)[1 + x + x(x + 1) + \cdots + x(x + 1)^{n - 1}] = (1 + x)^{2}[1 + x + x(x + 1) + \cdots + x(x + 1)^{n - 2}] = \cdots = (1 + x)^{n + 1}$.

答案：
(1) 提公因式法；2。
(2) $(1 + x)^{2026}$。
(3) $1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^{2} + \cdots + x(x + 1)^{n} = (1 + x)[1 + x + x(x + 1) + \cdots + x(x + 1)^{n - 1}] = (1 + x)^{2}[1 + x + x(x + 1) + \cdots + x(x + 1)^{n - 2}] = \cdots = (1 + x)^{n + 1}$。