《2025年拔尖特训八年级数学上册人教版》

13. 已知实数a,b满足$|\sqrt {a-b}-2|+(\sqrt [3]{ab}-2)^{2}=0$.求:
(1)$a-b$和ab的值.
(2)$a^{2}-3ab+b^{2}$的值.

答案：
(1)$\because |\sqrt {a-b}-2|+(\sqrt [3]{ab}-2)^{2}=0,\therefore \sqrt {a-b}-2=0,\sqrt [3]{ab}-2=0$,即$a-b=4,ab=8$.
(2)$a^{2}-3ab+b^{2}=(a-b)^{2}-ab=16-8=8$.

14. 利用学过的知识,可以得到形式优美的等式:$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac=\frac {1}{2}[(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}]$.该等式从左到右的变形,体现了数学的和谐美、简洁美.
(1)请你检验这个等式的正确性.
(2)若$a=2024,b=2025,c=2026$,请求出$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac$的值.

答案：
(1)$\because \frac {1}{2}[(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}]=\frac {1}{2}(a^{2}+b^{2}-2ab+b^{2}+c^{2}-2bc+c^{2}+a^{2}-2ac)=\frac {1}{2}(2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-2ab-2bc-2ac)=a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac,\therefore a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac=\frac {1}{2}[(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}]$.
(2) 由
(1),得$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac=\frac {1}{2}[(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}]$.
当$a=2024,b=2025,c=2026$时,$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac=\frac {1}{2}×[(-1)^{2}+(-1)^{2}+2^{2}]=3$.

15. (2024·三明梅列段考)观察下列各式:
$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$;
$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$;
$(a+b)^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}$;
$(a+b)^{5}=a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}$;
…
请你猜想$(2x-1)^{11}$的展开式中含$x^{2}$项的系数是-220.

答案： -220 解析:$\because (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2},(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3},(a+b)^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4},(a+b)^{5}=a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5},... ,\therefore$依据规律,可得到$(a+b)^{2}$倒数第三项的系数为$1,(a+b)^{3}$倒数第三项的系数为$3=1+2,(a+b)^{4}$倒数第三项的系数为$6=1+2+3,... .\because (2x-1)^{11}$的展开式中共有12项,其中含有$x^{2}$的是第10项,$\therefore$含$x^{2}$项的系数为$2^{2}×(-1)^{9}×(1+2+3+... +9+10)=-220$.

16. 如图①,有A型、B型正方形卡片和C型长方形卡片各若干张.
(1)如图②,用1张A型卡片,2张B型卡片,3张C型卡片拼成一个长方形,利用两种方法计算这个长方形的面积,可以得到一个等式:$(a+b)(a+2b)=a^{2}+3ab+2b^{2}$.
(2)选取1张A型卡片,8张C型卡片,16张B型卡片,可以拼成一个正方形,这个正方形的边长用含a,b的式子表示为$a+4b$.
(3)如图③,正方形的边长分别为m,n,$m+2n=10,mn=12$,求涂色部分的面积.由题图③,可得$S_{涂色}=\frac {1}{2}n^{2}+n^{2}+\frac {1}{2}mn+\frac {1}{2}(m-n)^{2}=\frac {3}{2}n^{2}+\frac {1}{2}mn+\frac {1}{2}(m^{2}-2mn+n^{2})=\frac {3}{2}n^{2}+\frac {1}{2}mn+\frac {1}{2}m^{2}-mn+\frac {1}{2}n^{2}=\frac {1}{2}m^{2}-\frac {1}{2}mn+2n^{2}=\frac {1}{2}(m^{2}-mn+4n^{2})=\frac {1}{2}(m+2n)^{2}-\frac {5}{2}mn.\because m+2n=10,mn=12,\therefore$原式$=\frac {1}{2}×10^{2}-\frac {5}{2}×12=20.\therefore$涂色部分的面积为20.

答案：
(1)$(a+b)(a+2b)=a^{2}+3ab+2b^{2}$.
(2) 16;$a+4b$.
(3) 由题图③,可得$S_{涂色}=\frac {1}{2}n^{2}+n^{2}+\frac {1}{2}mn+\frac {1}{2}(m-n)^{2}=\frac {3}{2}n^{2}+\frac {1}{2}mn+\frac {1}{2}(m^{2}-2mn+n^{2})=\frac {3}{2}n^{2}+\frac {1}{2}mn+\frac {1}{2}m^{2}-mn+\frac {1}{2}n^{2}=\frac {1}{2}m^{2}-\frac {1}{2}mn+2n^{2}=\frac {1}{2}(m^{2}-mn+4n^{2})=\frac {1}{2}(m+2n)^{2}-\frac {5}{2}mn.\because m+2n=10,mn=12,\therefore$原式$=\frac {1}{2}×10^{2}-\frac {5}{2}×12=20.\therefore$涂色部分的面积为20.