《2025年拔尖特训八年级数学上册人教版》

9. $\triangle ABC$，$\triangle A''B''C''$及直线$MN$如图所示。
（1）作出$\triangle ABC$关于直线$MN$对称的图形$\triangle A'B'C'$（点$A$，$B$，$C$的对应点分别为$A'$，$B'$，$C'$）。
（2）若$\triangle A'B'C'$和$\triangle A''B''C''$关于直线$EF$对称，作出直线$EF$（点$A'$，$B'$，$C'$的对应点分别为$A''$，$B''$，$C''$）。
（3）设直线$MN$与$EF$相交于点$O$，求$\angle BOB''$与直线$MN$，$EF$所夹的锐角$\alpha$之间的数量关系。

答案：

(1) 如图，$\triangle A'B'C'$ 即为所求.
(2) 如图，直线 $EF$ 即为所求.
(3) 如图，连接 $BO$，$B'O$，$B''O$.
∵ $\triangle ABC$ 和 $\triangle A'B'C'$ 关于直线 $MN$ 对称，
∴ $\angle BOM = \angle B'OM$.
又
∵ $\triangle A'B'C'$ 和 $\triangle A''B''C''$ 关于直线 $EF$ 对称，
∴ $\angle B'OE = \angle B''OE$.
由题意，得 $\angle B'OM + \angle B'OE = \alpha$，
∴ $\angle BOB'' = \angle BOM + \angle B'OM + \angle B'OE + \angle B''OE = 2(\angle B'OM + \angle B'OE) = 2\alpha$，即 $\angle BOB'' = 2\alpha$.

10. 在如图所示的$2×4$的正方形网格中，$\triangle ABC$的顶点都在格点（网格线的交点）上，这样的三角形称为格点三角形，则网格中与$\triangle ABC$成轴对称的格点三角形一共有（）

A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个

答案：
B 解析：在网格中作出与 $\triangle ABC$ 成轴对称的格点三角形如图所示.
∴ 网格中与 $\triangle ABC$ 成轴对称的格点三角形一共有 3 个.

11. $\triangle ABC$在平面直角坐标系中的位置如图所示，直线$l$过点$M(3,0)$且平行于$y$轴。
（1）作出$\triangle ABC$关于$y$轴对称的图形$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$（点$A$，$B$，$C$的对应点分别为$A_{1}$，$B_{1}$，$C_{1}$），并写出$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$各顶点的坐标。
（2）如果点$P$的坐标为$(-a,0)$，其中$a＞0$，点$P$关于$y$轴的对称点是$P_{1}$，点$P_{1}$关于直线$l$的对称点是$P_{2}$，求$P_{1}P_{2}$的长（用含$a$的式子表示）。
（3）在（2）的条件下，通过计算判断$PP_{2}$的长会不会随点$P$位置的变化而变化。

答案：

(1) 如图，$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$ 即为所求.
点 $A_{1}$，$B_{1}$，$C_{1}$ 的坐标分别为 $(0,4)$，$(2,2)$，$(1,1)$.
(2) ① 当 $0 ＜ a \leq 3$ 时，
∵ 点 $P$ 与点 $P_{1}$ 关于 $y$ 轴对称，点 $P$ 的坐标为 $(-a,0)$，
∴ 点 $P_{1}$ 的坐标为 $(a,0)$.
又
∵ 点 $P_{1}$ 与点 $P_{2}$ 关于直线 $l$ 对称，
设点 $P_{2}$ 的坐标为 $(m,0)$，
∴ $\frac{m + a}{2} = 3$，即 $m = 6 - a$.
∴ 点 $P_{2}$ 的坐标为 $(6 - a,0)$.
∴ $P_{1}P_{2} = 6 - a - a = 6 - 2a$.
② 当 $a ＞ 3$ 时，
∵ 点 $P$ 与点 $P_{1}$ 关于 $y$ 轴对称，点 $P$ 的坐标为 $(-a,0)$，
∴ 点 $P_{1}$ 的坐标为 $(a,0)$.
又
∵ 点 $P_{1}$ 与点 $P_{2}$ 关于直线 $l$ 对称，
设点 $P_{2}$ 的坐标为 $(n,0)$，
∴ $\frac{n + a}{2} = 3$，即 $n = 6 - a$.
∴ 点 $P_{2}$ 的坐标为 $(6 - a,0)$.
∴ $P_{1}P_{2} = a - (6 - a) = 2a - 6$.
综上所述，当 $0 ＜ a \leq 3$ 时，$P_{1}P_{2} = 6 - 2a$；当 $a ＞ 3$ 时，$P_{1}P_{2} = 2a - 6$.
(3) 当 $0 ＜ a \leq 3$ 时，易得 $PP_{2} = PP_{1} + P_{1}P_{2} = 2a + 6 - 2a = 6$.
当 $a ＞ 3$ 时，易得 $PP_{2} = PP_{1} - P_{1}P_{2} = 2a - (2a - 6) = 6$.
综上所述，$PP_{2}$ 的长不会随点 $P$ 位置的变化而变化.