《2025年拔尖特训八年级数学上册人教版》

11. 阅读材料,并解答问题.
∵$(x+3)(x-2)=x^{2}+x-6$,
∴$(x^{2}+x-6)÷(x-2)=x+3$.
这说明$x^{2}+x-6$能被$x-2$整除,同时也说明多项式$x^{2}+x-6$有一个因式为$x-2$;另外,当$x=2$时,多项式$x^{2}+x-6$的值为0.
(1)“多项式的值为0”“多项式有一个因式为$x-2$”“多项式能被$x-2$整除”之间存在着一种什么样的关系?
(2)一般地,如果一个关于字母x的多项式M,当$x=k$时,M的值为0,那么M与式子$x-k$之间有何种关系?
(3)已知$x-2$能整除$x^{2}+kx-14$,求k的值.

答案：
(1)多项式有一个因式为x−2，说明此多项式能被x−2整除，另外，当x=2时，此多项式的值为0.
(2)由
(1)，得M能被x−k整除，M有一个因式为x−k.
(3)
∵x−2能整除x²+kx−14，
∴当x−2=0，即x=2时，x²+kx−14=0.
∴4+2k−14=0，解得k=5.

12. 阅读材料,并解答问题.
多项式除以多项式,可用竖式进行演算,步骤如下:
① 把被除式、除式按某个字母作降幂排列,并把所缺的项用零补齐(或留出空白).
② 用被除式的第一项除以除式的第一项,得到商式的第一项,写在被除式的同次幂上方.
③ 用商式的第一项去乘除式,把积写在被除式下面(同类项对齐),从被除式中减去这个积.
④ 把减得的差当成新的被除式,再按照上面的方法继续演算,直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止,被除式=除式×商式+余式.若余式为零,则说明这个多项式能被另一个多项式整除.
例如:计算$(2x^{5}+3x^{3}+5x^{2}-2x+10)÷(x^{2}+1)$的商式和余式,可以用竖式演算,如图所示.
$(2x^{5}+3x^{3}+5x^{2}-2x+10)÷(x^{2}+1)$的商式为$2x^{3}+x+5$,余式为$-3x+5$.
(1)计算$(2x^{3}-3x^{2}+4x-5)÷(x+2)$的商式为____,余式为____.
(2)$2x^{4}-4x^{3}+ax^{2}+7x+b$能被$x^{2}+x-2$整除,求a,b的值.

答案：

(1)2x²−7x+18；−41. 解析:竖式演算如图①所示.
(2)竖式演算如图②所示.
∵2x⁴−4x³+ax²+7x+b能被x²+x−2整除，
∴−15−a=0，b+2a+20=0，解得a=−15，b=10.