《2025年拔尖特训八年级数学上册人教版》

11. 若a,b,c是不为0的实数,且$\frac {a+b}{ab}=3,\frac {b+c}{bc}=4,\frac {a+c}{ac}=5$,则$\frac {abc}{a+b+c}=$$\frac{1}{11}$.

答案： $\frac{1}{11}$

12. 已知$abc=1$,不改变分式的值,使分式$\frac {1}{ab+b+1},\frac {1}{bc+c+1}$的分母与$\frac {1}{ac+a+1}$的分母相同,请写出转化过程.

答案： $\because abc = 1$，
$\therefore \frac{1}{ab + b + 1}=\frac{abc}{ab + b + abc}=\frac{ac}{a + 1 + ac}=\frac{ac}{ac + a + 1}$，$\frac{1}{bc + c + 1}=\frac{abc}{bc + c + abc}=\frac{ab}{b + 1 + ab}=\frac{ab}{b + abc + ab}=\frac{a}{1 + ac + a}=\frac{a}{ac + a + 1}$。

13. 阅读下面的解题过程,并解决问题.
题目:若$\frac {a}{b}=-2$,求$\frac {a^{2}-2ab-3b^{2}}{a^{2}-6ab-7b^{2}}$的值.
解:$\because \frac {a}{b}=-2$,
$\therefore a=-2b.\therefore \frac {a^{2}-2ab-3b^{2}}{a^{2}-6ab-7b^{2}}=\frac {(-2b)^{2}-2(-2b)b-3b^{2}}{(-2b)^{2}-6(-2b)b-7b^{2}}=\frac {5b^{2}}{9b^{2}}=\frac {5}{9}$.
(1) 解题过程中由$\frac {5b^{2}}{9b^{2}}$得$\frac {5}{9}$,是对分式进行了约分.
(2) 若$\frac {a}{b}=\frac {1}{2}$,求$\frac {a^{2}-2ab-3b^{2}}{a^{2}-6ab-7b^{2}}$的值.
$\because \frac{a}{b}=\frac{1}{2}$，
$\therefore b = 2a$。
$\therefore$ 原式$=\frac{a^{2}-2a\cdot2a - 3(2a)^{2}}{a^{2}-6a\cdot2a - 7(2a)^{2}}=\frac{-15a^{2}}{-39a^{2}}=\frac{5}{13}$。

答案：
(1) 约分。
(2) $\because \frac{a}{b}=\frac{1}{2}$，
$\therefore b = 2a$。
$\therefore$ 原式$=\frac{a^{2}-2a\cdot2a - 3(2a)^{2}}{a^{2}-6a\cdot2a - 7(2a)^{2}}=\frac{-15a^{2}}{-39a^{2}}=\frac{5}{13}$。

14. (2024·眉山东坡期末)若$\frac {1}{x}+\frac {1}{y}=2$,则$\frac {2x-xy+2y}{3x+5xy+3y}$的值为$\frac{3}{11}$.

答案： $\frac{3}{11}$ 解析：由$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2$，得$x + y = 2xy$。$\therefore \frac{2x - xy + 2y}{3x + 5xy + 3y}=\frac{2(x + y)-xy}{3(x + y)+5xy}=\frac{2\cdot2xy - xy}{3\cdot2xy + 5xy}=\frac{3xy}{11xy}=\frac{3}{11}$。

15. 如果一个分式的分子或分母可以分解因式,且这个分式不可约分,那么我们称这个分式为“友善分式”.
(1) 有下列分式:①$\frac {x-1}{x^{2}+1}$;②$\frac {a-2b}{a^{2}-b^{2}}$;③$\frac {x+y}{x^{2}-y^{2}}$;④$\frac {a^{2}-b^{2}}{(a+b)^{2}}$.其中,属于“友善分式”的是②(填序号).
(2) 若a为正整数,且$\frac {x+1}{x^{2}+ax+4}$为“友善分式”,求a的值.
$\because \frac{x + 1}{x^{2}+ax + 4}$为“友善分式”，其中$x + 1$不可以分解因式，
$\therefore x^{2}+ax + 4$可以分解因式。
$\because a$为正整数，
$\therefore$ 易得$a = 4$或5。
当$a = 4$时，$\frac{x + 1}{x^{2}+4x + 4}=\frac{x + 1}{(x + 2)^{2}}$，分式为“友善分式”；
当$a = 5$时，$\frac{x + 1}{x^{2}+5x + 4}=\frac{x + 1}{(x + 4)(x + 1)}=\frac{1}{x + 4}$，分式不是“友善分式”。
综上所述，$a$的值是4。
(3) 有下列整式:①$m^{2}-n^{2}$;②$m^{2}+2mn+n^{2}$;③$m-n$.任意选择2个整式来构造分式,分别作为分子和分母,要求构造的分式为“友善分式”,直接写出所有的结果:$\frac{m - n}{m^{2}+2mn + n^{2}}$或$\frac{m^{2}+2mn + n^{2}}{m - n}$.

答案：
(1) ②。
(2) $\because \frac{x + 1}{x^{2}+ax + 4}$为“友善分式”，其中$x + 1$不可以分解因式，
$\therefore x^{2}+ax + 4$可以分解因式。
$\because a$为正整数，
$\therefore$ 易得$a = 4$或5。
当$a = 4$时，$\frac{x + 1}{x^{2}+4x + 4}=\frac{x + 1}{(x + 2)^{2}}$，分式为“友善分式”；
当$a = 5$时，$\frac{x + 1}{x^{2}+5x + 4}=\frac{x + 1}{(x + 4)(x + 1)}=\frac{1}{x + 4}$，分式不是“友善分式”。
综上所述，$a$的值是4。
(3) $\frac{m - n}{m^{2}+2mn + n^{2}}$或$\frac{m^{2}+2mn + n^{2}}{m - n}$。