《2025年拔尖特训八年级数学上册人教版》

1. 如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，且AB+BD=DC，则∠C的度数为______.

20°

答案： $20^{\circ}$

2. 如图，在△ABC中，∠A=108°，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于点D. 求证：BC=CD+AB.

答案：
如图，在 $BC$ 上取点 $E$，使 $BE = BA$，连接 $DE$。
$\because BD$ 平分 $\angle ABC$，
$\therefore \angle ABD=\angle EBD$。
在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle EBD$ 中，
$\left\{\begin{array}{l} AB = EB,\\ \angle ABD=\angle EBD,\\ BD = BD,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ABD\cong \triangle EBD$。
$\therefore \angle A=\angle BED = 108^{\circ}$。
$\therefore \angle DEC = 180^{\circ}-\angle BED = 72^{\circ}$。
$\because AB = AC$，
$\therefore \angle C=\angle ABC=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle A)=36^{\circ}$。
$\therefore \angle CDE = 180^{\circ}-\angle C-\angle DEC = 72^{\circ}$。
$\therefore \angle CDE=\angle DEC$。
$\therefore CD = CE$。
$\therefore BC = EC + BE = CD + AB$。

3. 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是边BC上的一个动点，连接AD，过点B作BF⊥AD，交AD的延长线于点F.
（1）如图①，分别延长AC，BF交于点E，求证：AD=BE.
（2）如图②，若AD平分∠BAC，AD=5，求BF的长.
（3）如图③，M是FB的延长线上的一点，AD平分∠MAC，试探究AC，CD，AM之间的数量关系，并说明理由.

答案：

(1) $\because BF\perp AD$，
$\therefore \angle AFB = 90^{\circ}$。
$\because \angle ACB = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle ACB=\angle AFB$。
$\because \angle ADC=\angle BDF$，
$\therefore \angle CAD=\angle CBE$。
$\because AC = BC$，$\angle ACD=\angle BCE = 90^{\circ}$，
$\therefore \triangle ACD\cong \triangle BCE$。
$\therefore AD = BE$。
(2) 如图①，分别延长 $BF$，$AC$ 交于点 $E$。
由
(1)，知 $BE = AD = 5$。
$\because AD$ 平分 $\angle BAC$，$AF\perp BE$，
$\therefore \angle BAF=\angle EAF$，$\angle AFB=\angle AFE = 90^{\circ}$。
又 $\because AF = AF$，
$\therefore \triangle AFB\cong \triangle AFE$。
$\therefore BF = EF$。
$\therefore BF=\frac{1}{2}BE=\frac{5}{2}$。
(3) $AC + CD = AM$。
理由：如图②，分别延长 $BF$，$AC$ 交于点 $E$。
由
(1)，可得 $\triangle ACD\cong \triangle BCE$。
$\therefore CD = CE$。
$\because BF\perp AD$，
$\therefore \angle AFE=\angle AFM = 90^{\circ}$。
$\because AF$ 平分 $\angle EAM$，
$\therefore \angle EAF=\angle MAF$。
$\therefore$ 易得 $\angle M=\angle E$。
$\therefore AM = AE = AC + CE$。
$\therefore AC + CD = AM$。

4.（2024·武威凉州模拟）如图，在四边形ABCD中，DB=DC，∠DCA=60°，∠DAC=78°，∠CAB=24°，则∠ACB=______.

答案：
$18^{\circ}$ 解析：如图，延长 $CA$ 到点 $E$，使 $AE = AB$，连接 $DE$。$\because \angle DAC = 78^{\circ}$，$\therefore \angle DAE = 102^{\circ}$。$\because \angle DAB=\angle DAC+\angle CAB = 78^{\circ}+24^{\circ}=102^{\circ}$，$\therefore \angle DAE=\angle DAB$。$\because DA = DA$，$AB = AE$，$\therefore \triangle DAB\cong \triangle DAE$。$\therefore \angle ADB=\angle ADE$，$DB = DE$。$\because DB = DC$，$\therefore DE = DC$。$\because \angle DCA = 60^{\circ}$，$\therefore \triangle DEC$ 是等边三角形。$\therefore \angle EDC = 60^{\circ}$。$\because \angle ADC = 180^{\circ}-\angle DAC-\angle DCA = 180^{\circ}-78^{\circ}-60^{\circ}=42^{\circ}$，$\therefore \angle EDA=\angle EDC-\angle ADC = 60^{\circ}-42^{\circ}=18^{\circ}$。$\therefore \angle ADB=\angle EDA = 18^{\circ}$。$\therefore \angle BDC = 60^{\circ}-2\times 18^{\circ}=24^{\circ}$。$\because DB = DC$，$\therefore \angle DBC=\angle DCB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BDC)=\frac{1}{2}\times(180^{\circ}-24^{\circ})=78^{\circ}$。$\therefore \angle ACB=\angle DCB-\angle DCA = 78^{\circ}-60^{\circ}=18^{\circ}$。