《2025年拔尖特训八年级数学上册人教版》

8. 如图,在等边三角形ABC中,$AB = 9cm$,点P从点C出发沿边CB向点B以$2cm/s$的速度移动,点Q从点B出发沿边BA向点A以$5cm/s$的速度移动.P,Q两点同时出发,它们移动的时间为ts.
(1)试用含t的代数式表示BP和BQ的长.
(2)移动几秒时,$△PBQ$为等边三角形?
(3)若P,Q两点分别从C,B两点同时出发,并且都按顺时针方向沿$△ABC$的三边移动,则几秒时点P与点Q第一次在$△ABC$的哪条边上相遇?

答案：
(1) $\because \triangle ABC$是等边三角形，
$\therefore BC=AB=9cm$.
$\because$点$P$的速度为$2cm/s$，时间为$t s$，
$\therefore CP=2t cm$.
$\therefore BP=BC - CP=(9 - 2t)cm$.
$\because$点$Q$的速度为$5cm/s$，时间为$t s$，
$\therefore BQ=5t cm$.
(2) 若$\triangle PBQ$为等边三角形，则$BQ=BP$，即$5t=9 - 2t$，解得$t=\frac{9}{7}$.
$\therefore$移动$\frac{9}{7}s$时，$\triangle PBQ$为等边三角形.
(3) 设$t s$时，点$Q$与点$P$第一次相遇.
根据题意，得$5t - 2t=9\times 2$，解得$t=6$.
$\therefore 6s$时，点$Q$与点$P$第一次相遇.
当$t=6$时，点$P$移动的路程为$2\times 6=12(cm)$，而$9＜12＜18$，即此时点$P$在边$AB$上.
$\therefore 6s$时点$P$与点$Q$第一次在$\triangle ABC$的边$AB$上相遇.

9. (2024·安阳林州期末)如图,C是线段AB上除点A,B外的任意一点,分别以AC,BC为边在线段AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE,连接AE交DC于点M,连接BD交CE于点N,连接MN.求证:
(1)$AE = BD$.
(2)$MN// AB$.

答案：
(1) $\because \triangle ACD$和$\triangle BCE$都是等边三角形，
$\therefore AC=DC$，$CE=CB$，$\angle DCA=60^{\circ}$，$\angle ECB=60^{\circ}$.
$\therefore \angle DCA+\angle DCE=\angle ECB+\angle DCE$，即$\angle ACE=\angle DCB$.
在$\triangle ACE$和$\triangle DCB$中，
$\begin{cases}AC=DC,\\\angle ACE=\angle DCB,\\CE=CB,\end{cases}$
$\therefore \triangle ACE\cong \triangle DCB$.
$\therefore AE=BD$.
(2) $\because$由
(1)，得$\triangle ACE\cong \triangle DCB$，
$\therefore \angle CAM=\angle CDN$.
$\because \angle ACD=\angle ECB=60^{\circ}$，而$A$，$C$，$B$三点共线，
$\therefore \angle DCN=60^{\circ}$.
在$\triangle ACM$和$\triangle DCN$中，
$\begin{cases}\angle MAC=\angle NDC,\\AC=DC,\\\angle ACM=\angle DCN=60^{\circ},\end{cases}$
$\therefore \triangle ACM\cong \triangle DCN$.
$\therefore MC=NC$.
$\because \angle MCN=60^{\circ}$，
$\therefore \triangle MCN$为等边三角形.
$\therefore \angle NMC=\angle DCN=60^{\circ}$.
$\therefore \angle NMC=\angle DCA$.
$\therefore MN// AB$.

10. 如图,$△ABC$,$△CDE$都是等边三角形,AD,BE相交于点O,M,N分别是线段AD,BE的中点,连接MN,CM,CN.
(1)求证:$AD = BE$.
(2)求$∠DOE$的度数.
(3)求证:$△MNC$是等边三角形.

答案：
(1) $\because \triangle ABC$，$\triangle CDE$都是等边三角形，
$\therefore AC=BC$，$CD=CE$，$\angle ACB=\angle DCE=60^{\circ}$.
$\therefore \angle ACB+\angle BCD=\angle DCE+\angle BCD$.
$\therefore \angle ACD=\angle BCE$.
在$\triangle ACD$和$\triangle BCE$中，
$\begin{cases}AC=BC,\\\angle ACD=\angle BCE,\\CD=CE,\end{cases}$
$\therefore \triangle ACD\cong \triangle BCE$.
$\therefore AD=BE$.
(2) $\because \triangle ACD\cong \triangle BCE$，
$\therefore \angle ADC=\angle BEC$.
$\because \triangle CDE$是等边三角形，
$\therefore \angle CED=\angle CDE=60^{\circ}$.
$\therefore \angle ADE+\angle BED=\angle ADC+\angle CDE+\angle BED=\angle ADC+60^{\circ}+\angle BED=\angle CED+60^{\circ}=60^{\circ}+60^{\circ}=120^{\circ}$.
$\therefore \angle DOE=180^{\circ}-(\angle ADE+\angle BED)=60^{\circ}$.
(3) $\because \triangle ACD\cong \triangle BCE$，
$\therefore \angle CAD=\angle CBE$，$AD=BE$，$AC=BC$.
又$\because M$，$N$分别是线段$AD$，$BE$的中点，
$\therefore AM=\frac{1}{2}AD$，$BN=\frac{1}{2}BE$.
$\therefore AM=BN$.
在$\triangle ACM$和$\triangle BCN$中，
$\begin{cases}AC=BC,\\\angle CAM=\angle CBN,\\AM=BN,\end{cases}$
$\therefore \triangle ACM\cong \triangle BCN$.
$\therefore CM=CN$，$\angle ACM=\angle BCN$.
又$\because \angle ACB=60^{\circ}$，
$\therefore \angle ACM+\angle MCB=60^{\circ}$.
$\therefore \angle BCN+\angle MCB=60^{\circ}$.
$\therefore \angle MCN=60^{\circ}$.
$\therefore \triangle MNC$是等边三角形.