《2025年拔尖特训八年级数学上册人教版》

12. (2024·盐城东台期中)如果$a^{c}=b$，那么我们规定$(a,b)=c$，例如：$\because 2^{3}=8$，$\therefore (2,8)=3$.
(1)根据上述规定，填空：$(3,27)=$3.
(2)记$(3,5)=a$，$(3,6)=b$，$(3,30)=c$. 求证：$a+b=c$.
(2) $\because (3,5)=a$，$(3,6)=b$，$(3,30)=c$，
$\therefore 3^{a}=5$，$3^{b}=6$，$3^{c}=30$.
$\therefore 3^{a}×3^{b}=30$.
$\therefore 3^{a}×3^{b}=3^{c}$.
$\therefore a+b=c$.

答案：
(1) 3.
(2) $\because (3,5)=a$，$(3,6)=b$，$(3,30)=c$，
$\therefore 3^{a}=5$，$3^{b}=6$，$3^{c}=30$.
$\therefore 3^{a}×3^{b}=30$.
$\therefore 3^{a}×3^{b}=3^{c}$.
$\therefore a+b=c$.

13. 阅读材料：
求$5+5^{2}+5^{3}+... +5^{100}$的值.
解：令$S=5+5^{2}+5^{3}+... +5^{100}$①.
将等式两边同时乘5，得$5S=5^{2}+5^{3}+5^{4}+... +5^{101}$②.
②-①，得$4S=5^{101}-5$.
$\therefore S=\frac {5^{101}-5}{4}$.
根据材料，求：
(1)$2+2^{2}+2^{3}+... +2^{100}$的值.
(2)$4+12+36+... +4×3^{40}$的值.

答案：
(1) 令$S=2+2^{2}+2^{3}+... +2^{100}$①.
将等式两边同时乘2，得$2S=2^{2}+2^{3}+... +2^{101}$②.
②-①，得$S=2^{101}-2$.
(2) $4+12+36+... +4×3^{40}=4×(1+3+3^{2}+3^{3}+... +3^{40})$.
令$S=4×(1+3+3^{2}+3^{3}+... +3^{40})$①.
将等式两边同时乘3，得$3S=4×(3+3^{2}+3^{3}+... +3^{41})$②.
②-①，得$2S=4×(3^{41}-1)$.
$\therefore S=2×(3^{41}-1)$.

14. 我们知道，同底数幂的乘法法则为$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$(其中$a≠0$，m，n为正整数)，类似地，我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：$h(m+n)=h(m)\cdot h(n)$. 请根据这种新运算填空：
(1)若$h(1)=\frac {2}{3}$，则$h(2)=$$\frac {4}{9}$.
(2)如果$h(1)=k(k≠0)$，那么$h(n)\cdot h(2025)=$$k^{n+2025}$(用含n和k的代数式表示，其中n为正整数).

答案：
(1) $\frac {4}{9}$ 解析：$\because h(1)=\frac {2}{3}$，$h(m+n)=h(m)\cdot h(n)$，$\therefore h(2)=h(1+1)=\frac {2}{3}×\frac {2}{3}=\frac {4}{9}$.
(2) $k^{n+2025}$ 解析：$\because h(1)=k(k≠0)$，$h(m+n)=h(m)\cdot h(n)$，$\therefore h(n)\cdot h(2025)=k^{n}\cdot k^{2025}=k^{n+2025}$.

15. 一般地，若$a^{n}=b(a＞0$且$a≠1$，$b＞0)$，则n叫作以a为底b的对数，记为$log_{a}b$(即$log_{a}b=n$). 如$3^{4}=81$，则4叫作以3为底81的对数，记为$log_{3}81$(即$log_{3}81=4$).
(1)计算以下各对数的值：$log_{2}4=$2；$log_{2}16=$4；$log_{2}64=$6.
(2)写出(1)中$log_{2}4$，$log_{2}16$，$log_{2}64$之间满足的关系式：$log_{2}4+log_{2}16=log_{2}64$.
(3)由(2)的结果，请你归纳出一个一般性的结论：$log_{a}M+log_{a}N=$$log_{a}(MN)$$(a＞0$且$a≠1$，$M＞0$，$N＞0)$.
(4)设$a^{m}=M$，$a^{n}=N$，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明(3)中结论的正确性.
$\because a^{m}=M$，$a^{n}=N$，$\therefore log_{a}M=m$，$log_{a}N=n$.$\because MN=a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$，$\therefore m+n=log_{a}(MN)$.$\therefore log_{a}M+log_{a}N=log_{a}(MN)$.

答案：
(1) 2；4；6.
(2) $log_{2}4+log_{2}16=log_{2}64$.
(3) $log_{a}(MN)$.
(4) $\because a^{m}=M$，$a^{n}=N$，
$\therefore log_{a}M=m$，$log_{a}N=n$.
$\because MN=a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$，
$\therefore m+n=log_{a}(MN)$.
$\therefore log_{a}M+log_{a}N=log_{a}(MN)$.