《2025年拔尖特训八年级数学上册人教版》

3. 在$△ABC$中，$∠ACB=90^{\circ },AC=BC$，直线MN经过点C，且$AD⊥MN$于点D，$BE⊥MN$于点E.
（1）当直线MN绕点C旋转到如图①所示的位置时，求证：
①$△ADC\cong △CEB.$
②$DE=AD+BE.$
（2）当直线MN绕点C旋转到如图②所示的位置时，问题（1）中的结论还成立吗？请判断并说明理由.

答案：
(1)①
∵∠ACB=90°,AD⊥MN,BE⊥MN,
∴∠ACD+∠ECB=90°,∠ADC=∠CEB=90°,
∴∠DAC+∠ACD=90°.
∴∠DAC=∠ECB.
在△ADC和△CEB中,
{∠ADC = ∠CEB，
∠DAC = ∠ECB，
AC = CB，
∴△ADC≌△CEB(AAS).
②
∵△ADC≌△CEB,
∴CD=BE,AD=CE.
∴DE=CE+CD=AD+BE.
(2)△ADC≌△CEB成立,DE=AD+BE不成立.
理由:
∵∠ACB=90°,AD⊥MN,BE⊥MN,
∴∠ACD+∠ECB=90°,∠ADC=∠CEB=90°.
∴∠DAC+∠ACD=90°.
∴∠DAC=∠ECB.
在△ADC和△CEB中,
{∠ADC = ∠CEB，
∠DAC = ∠ECB，
AC = CB，
∴△ADC≌△CEB(AAS).
∴CD=BE,AD=CE.
∴DE=CE−CD=AD−BE.
∴△ADC≌△CEB成立,DE=AD+BE不成立.

4. 将两个全等的直角三角形ABC，DBE按如图①所示的方式摆放.其中，$∠ACB=∠DEB=90^{\circ },∠A=∠D=30^{\circ }$，点E落在AB上，DE所在的直线交AC所在的直线于点F.
（1）求证：
①$CF=EF.$
②$AF+EF=DE.$
（2）若将图①中的$△DBE$绕点B按顺时针方向旋转α，且$0^{\circ }＜α＜60^{\circ }$，其他条件不变，如图②.请你判断（1）中的两个结论是否成立，并说明理由.
（3）若将图①中$△DBE$绕点B按顺时针方向旋转β，且$60^{\circ }＜β＜180^{\circ }$，其他条件不变，如图③.请你写出此时AF，EF与DE之间的数量关系，并加以证明.

答案：

(1)①如图①,连接BF.
∵易知△ABC≌△DBE,
∴BC=BE,AC=DE.
∵∠ACB=∠DEB=90°,
∴∠BCF=∠BEF=90°.
在Rt△BFC和Rt△BFE中,
{BF = BF，
BC = BE，
∴Rt△BFC≌Rt△BFE(HL).
∴CF=EF.
②
∵CF=EF,AF+CF=AC,
∴AF+EF=AC=DE.
(2)
(1)中的两个结论成立.
理由:如图②,连接BF,
∵△ABC≌△DBE,
∴BC=BE,AC=DE,∠ACB=∠DEB=90°.
∴∠BEF=90°.
在Rt△BCF和Rt△BEF中,
{BF = BF，
BC = BE，
∴Rt△BCF≌Rt△BEF(HL).
∴CF=EF.
∴AF+EF=AF+CF=AC=DE.
∴
(1)中的两个结论成立.
(3)AF=DE+EF.
如图③,连接BF.
∵△ABC≌△DBE,
∴BC=BE,AC=DE.
∵∠ACB=∠DEB=90°,
∴∠BCF=∠BEF=90°.
在Rt△BCF和Rt△BEF中,
{BF = BF，
BC = BE，
∴Rt△BCF≌Rt△BEF(HL).
∴CF=EF.
∴AF=AC+CF=DE+EF.