《2025年拔尖特训八年级数学上册人教版》

5. 如图，B，C，D三点共线，AC=BE，AC⊥BE，∠ABC=∠BDE=90°，AB=12，CD=5，则DE的长为7.

答案： 7

6. 把两把大小相同的含45°角的三角尺ACF和三角尺CFB按如图所示的方式摆放，点D在边AC上，点E在边BC上，且∠CFE=12°，∠CFD=33°，则∠DEC的度数为66°.

答案： 66°

7. (2024·宁波鄞州段考)某产品的商标如图所示，O是线段AC，DB的交点，且AC=BD，AB=DC，小华认为图中的两个三角形全等，他的思考过程如下：
∵AC=DB，∠AOB=∠DOC，AB=DC，
∴△AOB≌△DOC.
你认为小华的思考过程正确吗？如果正确，指出他是用哪个基本事实判定三角形全等的；如果不正确，写出你的思考过程.

答案：
小华的思考过程不正确。
如图，连接BC。
在△ABC和△DCB中，
$\begin{cases}AB = DC\\AC = DB\\BC = CB\end{cases}$
∴△ABC≌△DCB(SSS)。
∴∠A = ∠D。
在△AOB和△DOC中，
$\begin{cases}\angle A = \angle D\\\angle AOB = \angle DOC\\AB = DC\end{cases}$
∴△AOB≌△DOC(AAS)。

8. 已知直线CD经过∠BCA的内部，CA=CB，点E，F在射线CD上，且∠BEC=∠CFA=α.
(1) 如图①，若∠BCA=90°，α=90°，则BE=CF(填“＞”“＜”或“=”).
(2) 如图②，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于α与∠BCA之间数量关系的条件，使(1)中的结论仍然成立，并说明理由.

添加的条件为α + ∠BCA = 180°。
理由：∵∠BEC = ∠CFA = α，
∴∠BEF = 180° - ∠BEC = 180° - α。
∵∠BEF = ∠EBC + ∠BCE，
∴∠EBC + ∠BCE = 180° - α。
又∵α + ∠BCA = 180°，
∴∠BCA = 180° - α。
∴∠BCA = ∠BCE + ∠FCA = 180° - α。
∴∠EBC = ∠FCA。
在△BCE和△CAF中，
$\begin{cases}\angle BEC = \angle CFA\\\angle EBC = \angle FCA\\BC = CA\end{cases}$
∴△BCE≌△CAF(AAS)。
∴BE = CF。

答案：
(1)=。
(2)添加的条件为α + ∠BCA = 180°。
理由：
∵∠BEC = ∠CFA = α，
∴∠BEF = 180° - ∠BEC = 180° - α。
∵∠BEF = ∠EBC + ∠BCE，
∴∠EBC + ∠BCE = 180° - α。
又
∵α + ∠BCA = 180°，
∴∠BCA = 180° - α。
∴∠BCA = ∠BCE + ∠FCA = 180° - α。
∴∠EBC = ∠FCA。
在△BCE和△CAF中，
$\begin{cases}\angle BEC = \angle CFA\\\angle EBC = \angle FCA\\BC = CA\end{cases}$
∴△BCE≌△CAF(AAS)。
∴BE = CF。

9. (2025·石家庄辛集期末改编)如图，直线AM⊥AN，AB平分∠MAN，过点B作BC⊥BA交AN于点C. 动点D，E同时从点A出发，其中动点E以2 cm/s的速度沿射线AN运动，动点D以1 cm/s的速度在直线AM上运动. 已知AC=6 cm，设动点D，E的运动时间为t s. 当动点D在直线AM上运动时，若△ADB与△BEC全等，求t的值.

答案：
∵AM⊥AN，
∴∠MAN = 90°。
当点D在点A的上方时，
∵AB平分∠MAN，
∴∠BAC = ∠BAD = 45°。
∵CB⊥AB，
∴∠ABC = 90°。
∴∠ACB = 45° = ∠BAC。
∴BA = BC，∠BAD = ∠BCE = 45°。
∴当AD = CE时，△ADB≌△CEB(SAS)。
∵易得AD = tcm，CE = (6 - 2t)cm，
∴t = 6 - 2t。
∴t = 2。
∴当t = 2时，△ADB≌△CEB。
当点D在点A的下方时，易得∠BAD = ∠BCN = 135°。
∵BA = BC，
∴当AD = CE且点E在射线CN上时，△ADB≌△CEB(SAS)。
∵AD = tcm，CE = (2t - 6)cm，
∴2t - 6 = t，解得t = 6。
综上所述，满足条件的t的值为2或6。