《2025年拔尖特训八年级数学上册人教版》

7. (1)如图①,从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形,剩余部分刚好拼成一个长方形(如图②),上述操作能验证的公式为$ a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) $.
(2)已知$a^{2}-2ab+b^{2}=20,ab=6$,求$(a+b)^{2}$的值.$ \because a^2 - 2ab + b^2 = 20 $，
$ \therefore (a - b)^2 = 20 $。
$ \therefore (a + b)^2 = (a - b)^2 + 4ab = 20 + 4 × 6 = 44 $。
(3)如图③,长方形ABCD由三个正方形和两个长方形组成(两个正方形X和两个长方形Z分别全等).若正方形X的边长为5,长方形Z的面积为12,求长方形ABCD的面积.由题图③，可知 $ mn = 12 $。
由正方形 $ Y $ 的边长的不同表示方法，可列出等式 $ m - 5 = 5 - n $。
整理，得 $ m + n = 10 $。
$ \therefore $ 长方形 $ ABCD $ 的面积 $ = (5 + n) × (5 + m) = 25 + 5(m + n) + mn = 25 + 5 × 10 + 12 = 87 $。

答案：
(1) $ a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) $。
(2) $ \because a^2 - 2ab + b^2 = 20 $，
$ \therefore (a - b)^2 = 20 $。
$ \therefore (a + b)^2 = (a - b)^2 + 4ab = 20 + 4 \times 6 = 44 $。
(3) 由题图③，可知 $ mn = 12 $。
由正方形 $ Y $ 的边长的不同表示方法，可列出等式 $ m - 5 = 5 - n $。
整理，得 $ m + n = 10 $。
$ \therefore $ 长方形 $ ABCD $ 的面积 $ = (5 + n) \times (5 + m) = 25 + 5(m + n) + mn = 25 + 5 \times 10 + 12 = 87 $。

8. (2024·安顺期末)阅读下面的材料:
若x满足$(9-x)(x-4)=4$,求$(4-x)^{2}+(x-9)^{2}$的值.
设$9-x=a,x-4=b$,则$(9-x)(x-4)=ab=4,a+b=(9-x)+(x-4)=5.$
$\therefore (4-x)^{2}+(x-9)^{2}=(9-x)^{2}+(x-4)^{2}=a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab=5^{2}-2×4=17.$
请利用上面的方法解决问题:
(1)若x满足$(5-x)(x-2)=2$,求$(5-x)^{2}+(x-2)^{2}$的值.
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(2)如图,正方形ABCD的边长为x,E,F分别是AD,DC上的点,且$AE=1,CF=3$,长方形EMFD的面积是48,分别以MF,DF为边作正方形MFRN和正方形DFGH.
①$MF=$x - 1,$DF=$x - 3(用含x的式子表示).
②求涂色部分的面积.
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答案：
(1) 设 $ 5 - x = a $，$ x - 2 = b $，则 $ (5 - x)(x - 2) = ab = 2 $，$ a + b = (5 - x) + (x - 2) = 3 $。
$ \therefore (5 - x)^2 + (x - 2)^2 = a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 3^2 - 2 \times 2 = 5 $。
(2) ① $ x - 1 $；$ x - 3 $。
② $ \because $ 长方形 $ EMFD $ 的面积是 $ 48 $，
$ \therefore (x - 1)(x - 3) = 48 $。
涂色部分的面积 $ = MF^2 - DF^2 = (x - 1)^2 - (x - 3)^2 $。
设 $ x - 1 = a $，$ x - 3 = b $，则 $ (x - 1)(x - 3) = ab = 48 $，$ a - b = (x - 1) - (x - 3) = 2 $。
$ \therefore (a + b)^2 = (a - b)^2 + 4ab = 2^2 + 4 \times 48 = 196 $。
$ \therefore a + b = \pm 14 $。
又 $ \because a + b ＞ 0 $，
$ \therefore a + b = 14 $。
$ \therefore (x - 1)^2 - (x - 3)^2 = a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) = 14 \times 2 = 28 $。
$ \therefore $ 涂色部分的面积是 $ 28 $。