《2025年拔尖特训八年级数学上册人教版》

5. 如图，AB//CD，DE平分∠ADC交BC于点E，BE=CE. 求证：AD=AB+CD.

答案： 延长 $DE$，$AB$ 交于点 $F$。
$\because AB// CD$，
$\therefore \angle CDE=\angle F$。
在 $\triangle DCE$ 和 $\triangle FBE$ 中，
$\left\{\begin{array}{l} \angle CDE=\angle F,\\ \angle DEC=\angle FEB,\\ CE = BE,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle DCE\cong \triangle FBE$。
$\therefore CD = BF$。
$\therefore AF = AB + BF = AB + CD$。
$\because DE$ 平分 $\angle ADC$，
$\therefore \angle ADE=\angle CDE$。
$\therefore \angle F=\angle ADE$。
$\therefore AF = AD$。
$\therefore AD = AB + CD$。

6. *如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C. 求证：AB+BD=AC.

答案：
在 $AC$ 上截取 $AE$，使 $AE = AB$，连接 $DE$。
$\because AD$ 平分 $\angle BAC$，
$\therefore \angle BAD=\angle EAD$。
在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle AED$ 中，
$\left\{\begin{array}{l} AB = AE,\\ \angle BAD=\angle EAD,\\ AD = AD,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ABD\cong \triangle AED$。
$\therefore \angle B=\angle AED$，$BD = ED$。
又 $\because \angle B = 2\angle C$，
$\therefore \angle AED = 2\angle C$。
$\because \angle AED=\angle C+\angle EDC$，
$\therefore \angle EDC=\angle C$。
$\therefore ED = EC$。
$\therefore BD = EC$。
$\therefore AB + BD = AE + EC = AC$。
方法归纳
利用倍角关系构造等腰三角形的方法
已知在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ACB=\frac{1}{2}\angle ABC$。
(1) 如图①，作 $\angle ABC$ 的平分线 $BD$，则可构造等腰三角形 $BDC$。
(2) 如图②，作 $\angle BCE = 2\angle ACB$，交 $BA$ 的延长线于点 $E$，则可构造等腰三角形 $BCE$。
(3) 如图③，延长 $CB$ 至点 $D$，使 $BD = AB$，连接 $AD$，则可构造等腰三角形 $ABD$ 和等腰三角形 $ADC$。
(4) 如图④，作 $\angle BCE=\angle ACB$，交 $AB$ 的延长线于点 $E$，则可构造等腰三角形 $BCE$。

7. 如图，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC.
（1）当E为AB的中点时，线段AE与DB长度的大小关系为AE______DB（填“＞”“＜”或“=”）.
（2）请判断AE与DB的大小关系，并说明理由.
（3）在等边三角形ABC中，若点E在AB的延长线上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长.

答案：

(1) $=$。
(2) $AE = DB$。
理由：如图①，过点 $E$ 作 $EF// BC$ 交 $AC$ 于点 $F$。
$\because \triangle ABC$ 是等边三角形，
$\therefore \angle ABC=\angle ACB=\angle A = 60^{\circ}$，$AB = AC = BC$。
$\therefore \angle AEF=\angle ABC = 60^{\circ}$，$\angle AFE=\angle ACB = 60^{\circ}$，即 $\angle AEF=\angle AFE=\angle A = 60^{\circ}$。
$\therefore \triangle AEF$ 是等边三角形。
$\therefore AE = EF = AF$。
$\because \angle ABC=\angle ACB=\angle AFE = 60^{\circ}$，
$\therefore \angle DBE=\angle EFC = 120^{\circ}$，$\angle D+\angle BED=\angle FCE+\angle ECD = 60^{\circ}$。
$\because ED = EC$，
$\therefore \angle D=\angle ECD$。
$\therefore \angle BED=\angle FCE$。
在 $\triangle DEB$ 和 $\triangle ECF$ 中，
$\left\{\begin{array}{l} \angle BED=\angle FCE,\\ \angle DBE=\angle EFC,\\ DE = EC,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle DEB\cong \triangle ECF$。
$\therefore DB = EF$。
$\because EF = AE$，
$\therefore AE = DB$。
(3) 如图②，过点 $A$ 作 $AM\perp BC$ 于点 $M$，过点 $E$ 作 $EN\perp BC$ 交 $CB$ 的延长线于点 $N$，则 $AM// EN$。
$\because \triangle ABC$ 是等边三角形，
$\therefore AB = BC = AC = 1$。
$\because AM\perp BC$，
$\therefore BM = CM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}$。
$\because DE = CE$，$EN\perp BC$，
$\therefore$ 易得 $CD = 2CN$。
$\because AB = 1$，$AE = 2$，
$\therefore AB = BE = 1$。
$\because AM\perp BC$，$EN\perp BC$，
$\therefore \angle AMB=\angle ENB = 90^{\circ}$。
在 $\triangle ABM$ 和 $\triangle EBN$ 中，
$\left\{\begin{array}{l} \angle ABM=\angle EBN,\\ \angle AMB=\angle ENB,\\ AB = EB,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ABM\cong \triangle EBN$。
$\therefore BM = BN=\frac{1}{2}$。
$\therefore CN = BC + BN = 1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$。
$\therefore CD = 2CN = 3$。