《2025年拔尖特训八年级数学上册人教版》

10. （2025·泉州期中）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=140°，AB⊥CB于点B，AD⊥CD于点D，E，F分别是CB，CD上的点，且∠EAF=70°.给出下列结论：①DC=BC；②△ADF≌△ABE；③EF=BE+DF；④AE平分∠FEB.其中，正确的有（ ）

A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

答案：
C 解析：如图①，连接AC。
$\because AD\perp CD,AB\perp CB,\therefore \angle ADC=\angle ABC = 90^{\circ}$。在$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle ADC$中，$\left\{\begin{array}{l} AB = AD,\\ AC = AC,\end{array}\right.$ $\therefore Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle ADC(HL)$。$\therefore DC = BC$。故①正确。根据已知条件不能推出$\triangle ADF\cong \triangle ABE$，故②错误。如图②，延长EB到点G，使$BG = DF$，连接AG。$\because AB\perp CB,AD\perp CD,\therefore \angle ABC=\angle ADF = 90^{\circ}$。在$\triangle ADF$和$\triangle ABG$中，$\left\{\begin{array}{l} AD = AB,\\ \angle ADF=\angle ABG,\\ DF = BG,\end{array}\right.$ $\therefore \triangle ADF\cong \triangle ABG(SAS)$。$\therefore AF = AG,\angle DAF=\angle BAG,\angle DFA=\angle BGA$。$\because \angle BAD = 140^{\circ},\angle EAF = 70^{\circ},\therefore \angle DAF+\angle EAB=\angle BAD-\angle EAF = 140^{\circ}-70^{\circ}=70^{\circ}$。$\therefore \angle EAG=\angle EAB+\angle BAG=\angle EAB+\angle DAF = 70^{\circ}$。$\therefore \angle EAG=\angle EAF = 70^{\circ}$。在$\triangle EAF$和$\triangle EAG$中，$\left\{\begin{array}{l} AF = AG,\\ \angle EAF=\angle EAG,\\ AE = AE,\end{array}\right.$ $\therefore \triangle EAF\cong \triangle EAG(SAS)$。$\therefore EF = EG = BE + BG = BE + DF$。故③正确。由③的分析知，$\triangle EAF\cong \triangle EAG$，$\therefore \angle AEF=\angle AEG$，即AE平分$\angle FEB$。故④正确。综上所述，正确的有①③④，共3个。

11. 如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，CE的延长线交BD于点F.
（1）求证：△ACE≌△ABD.
（2）若∠BAC=∠DAE=50°，请求出∠BFC的度数.
（3）过点A作AH⊥BD于点H，求证：EF+DH=HF.

答案：
（1）$\because \angle BAC=\angle DAE$，
$\therefore \angle BAC+\angle BAE=\angle DAE+\angle BAE$，即$\angle CAE=\angle BAD$。
在$\triangle ACE$和$\triangle ABD$中，
$\left\{\begin{array}{l} AC = AB,\\ \angle CAE=\angle BAD,\\ AE = AD,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ACE\cong \triangle ABD(SAS)$。
（2）$\because \triangle ACE\cong \triangle ABD$，
$\therefore \angle AEC=\angle ADB$。
$\therefore \angle AEF+\angle AEC=\angle AEF+\angle ADB = 180^{\circ}$。
$\therefore$易得$\angle DAE+\angle DFE = 180^{\circ}$。
$\because \angle BFC+\angle DFE = 180^{\circ}$，
$\therefore \angle BFC=\angle DAE = 50^{\circ}$。
（3）如图，连接AF，过点A作$AJ\perp CF$于点J。
$\because \triangle ACE\cong \triangle ABD$，
$\therefore S_{\triangle ACE}=S_{\triangle ABD},CE = BD$。
$\because AJ\perp CE,AH\perp BD$，
$\therefore \frac{1}{2}CE\cdot AJ=\frac{1}{2}BD\cdot AH$。
$\therefore AJ = AH$。
在$Rt\triangle AFJ$和$Rt\triangle AFH$中，
$\left\{\begin{array}{l} AF = AF,\\ AJ = AH,\end{array}\right.$
$\therefore Rt\triangle AFJ\cong Rt\triangle AFH(HL)$。
$\therefore JF = HF$。
在$Rt\triangle AJE$和$Rt\triangle AHD$中，
$\left\{\begin{array}{l} AE = AD,\\ AJ = AH,\end{array}\right.$
$\therefore Rt\triangle AJE\cong Rt\triangle AHD(HL)$。
$\therefore JE = HD$。
$\therefore EF + DH = EF + JE = JF = HF$。