《2025年拔尖特训八年级数学上册人教版》

8. (2024·厦门思明期末)如图,已知线段a和线段b.
(1) 尺规作图:求作线段$AB=a+b$,并在线段BA的延长线上,求作线段$AC=a-b$(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).
(2) 若M,N分别为线段AB,AC的中点,求MN的长(用含a,b的代数式表示).

答案：

(1)如图，线段AB,AC即为所求.
(2)
∵AB=a+b，AC=a−b，M,N 分别为线段AB，AC的中点，
$\therefore A M = \frac { 1 } { 2 } A B = \frac { a + b } { 2 }$，$$A N = \frac { 1 } { 2 } A C = \frac { a - b } { 2 }$$.
$\therefore M N = A M + A N = \frac { a + b } { 2 } + \frac { a - b } { 2 } = a .$

9. 如图,在$△ABC$中,按以下步骤作图:
① 以点B为圆心,任意长为半径作弧,分别交BA,BC于点M,N,连接MN;再以点N为圆心,MN为半径作弧,交前面的弧于点F,连接NF,作射线BF交AC的延长线于点E.
② 以点B为圆心,BA为半径作弧,交BE于点D,连接CD.
请你观察图形,解答下列问题.
(1) 由尺规作图可证得$△BMN\cong △BFN$,依据是SSS.
(2) 求证:$△ABC\cong △DBC$.
(2)由(1)，得$\triangle B M N \cong \triangle B F N$，
$\therefore \angle A B C = \angle D B C .$
由作图可知，$A B = D B$.
在△ABC和△DBC中，
$\left\{ \begin{array} { l } { A B = D B , } \\ { \angle A B C = \angle D B C , } \\ { B C = B C , } \end{array} \right.$
$\therefore \triangle A B C \cong \triangle D B C ( \mathrm { SAS } ) .$

答案：
(1)SSS.
(2)由
(1)，得$$\triangle B M N \cong \triangle B F N$$，
$\therefore \angle A B C = \angle D B C .$
由作图可知，$$A B = D B$$.
在△ABC和△DBC中，
$\left\{ \begin{array} { l } { A B = D B , } \\ { \angle A B C = \angle D B C , } \\ { B C = B C , } \end{array} \right.$
$\therefore \triangle A B C \cong \triangle D B C ( \mathrm { SAS } ) .$

10. 新考法·开放题 已知一个三角形的两条边的长分别是1 cm和2 cm,一个内角为$40^{\circ }$.
(1) 请你借助如图所示的图形作出一个满足题设条件的三角形.
(2) 你是否还能作出既满足题设条件,又与(1)中所作三角形不全等的三角形? 若能,请你用直尺和圆规作出一个这样的三角形;若不能,请说明理由.
(3) 如果将题设条件改为“三角形的两条边的长分别是3 cm和4 cm,一个内角为$40^{\circ }$”,试探讨满足这一条件,且彼此不全等的三角形共有多少个,并作出所有图形.
友情提醒:请在你作的图中标出已知角的度数和已知边的长度.不要求写作法,保留作图痕迹.

答案：

(1)如图①所示(作法不唯一).
(2)能.如图②，三角形即为所求(作法不唯一，与图①不全等即可).
(3)当$$40 ^ { \circ }$$角是边长为3cm与4cm的两边的夹角时，如图③所示的△ABC；当$$40 ^ { \circ }$$角是3cm边的对角时，如图④所示的$$\triangle A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 }$$及$$\triangle A _ { 1 } B _ { 2 } C _ { 1 }$$；当$$40 ^ { \circ }$$角是4cm边的对角时，如图⑤所示的△DEF.
综上所述，共有4个这样的三角形满足条件.