《2025年拔尖特训八年级数学上册人教版》

13. （2025·重庆璧山段考）小红、小刚、小明三名同学正在讨论：当x取何整数时，分式$\frac {3x-2}{x+1}$的值是整数？
小红说：“这个分式的分子、分母都含有x，它们的值均随x取值的变化而变化，有点难.”
小刚说：“我会解这类问题.当x取何整数时，分式$\frac {3}{x+1}$的值是整数？只要使3是$x+1$的整数倍即可，注意不要忘记负数哦.”
小明说：“可将分式与分数进行类比.本题可以类比小学阶段学过的‘假分数’，当分子大于分母时，可以将‘假分数’化为一个整数与‘真分数’的和.例如：$\frac {7}{3}=\frac {3×2+1}{3}=2+\frac {1}{3}$（通常写成带分数$2\frac {1}{3}$）.类比分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，可称这样的分式为‘假分式’.若将$\frac {3x-2}{x+1}$化成一个整式与一个‘真分式’的和，就转化成小刚说的那类问题了！”
小红、小刚说：“对！我们试试看！……”
（1）解决小刚提出的问题.
（2）解决他们共同讨论的问题.

答案：
(1) 当 $x + 1 = \pm 1, \pm 3$ 时，分式 $\frac{3}{x + 1}$ 的值是整数，
∴ $x = 0, -2, 2, -4$
(2) $\frac{3x - 2}{x + 1} = \frac{3(x + 1) - 5}{x + 1} = 3 - \frac{5}{x + 1}$，当 $x + 1 = \pm 1, \pm 5$ 时，分式 $\frac{3x - 2}{x + 1}$ 的值是整数，
∴ $x = 0, -2, 4, -6$

14. 若a是自然数，代数式$\frac {4}{a-4}$的值也是自然数，则a的值可以是5,6,8.

答案： 5,6,8 解析：
∵ a 是自然数，代数式 $\frac{4}{a - 4}$ 的值也是自然数，
∴ $a - 4$ 的值可以为 1,2,4。
∴ a 的值可以是 5,6,8

15. （2024·扬州江都期中改编）阅读材料：
回顾小学阶段学过的同分母 答案讲解分数加减法的逆运算，我们可以将分式进行转化.如$\frac {a+1}{a}=\frac {a}{a}+\frac {1}{a}=1+\frac {1}{a},\frac {a^{2}-5}{a}=\frac {a^{2}}{a}-\frac {5}{a}=a-\frac {5}{a}$等.
学习新知
已知$\frac {a}{a^{2}+1}=\frac {1}{5}$，求$(\frac {a^{3}-a}{a^{2}})^{2}$的值.
解：由$\frac {a}{a^{2}+1}=\frac {1}{5}$，得$a≠0$，且$\frac {a^{2}+1}{a}=5$.
$\therefore a+\frac {1}{a}=5.\therefore (\frac {a^{3}-a}{a^{2}})^{2}=(a-\frac {1}{a})^{2}=(a+\frac {1}{a})^{2}-4=5^{2}-4=21$.
上面的解题过程采用了“取倒数法”的解题技巧.
灵活运用
已知$\frac {x}{x^{2}-2x-2}=4$.求：
（1）$x-\frac {2}{x}$的值.
（2）$\frac {x^{2}}{x^{4}-6x^{2}+4}$的值.

答案：
(1)
∵ $\frac{x}{x^2 - 2x - 2} = 4$，
∴ $x \neq 0$，且 $\frac{x^2 - 2x - 2}{x} = \frac{1}{4}$
∴ $x - 2 - \frac{2}{x} = \frac{1}{4}$
∴ $x - \frac{2}{x} = \frac{9}{4}$
(2)
∵ $\frac{x^4 - 6x^2 + 4}{x^2} = x^2 - 6 + \frac{4}{x^2} = (x - \frac{2}{x})^2 - 2 = \frac{81}{16} - 2 = \frac{49}{16}$，
∴ $\frac{x^2}{x^4 - 6x^2 + 4} = \frac{16}{49}$